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José Paulo Q. Carneiro O artigo Os números ab e ba , de E. Wagner e R. Agostino, publicado na RPM 28, resolve qual dos números ab ou ba é maior quando a e b são reais positivos. No entanto, como a motivação do problema foi dada por números inteiros (qual é maior; 10099 ou 99100?), achamos interessante mostrar que, nesse caso, de a e b inteiros positivos, há uma solução mais elementar, sem utilizar noções de Cálculo Diferencial.
Se a e b são inteiros positivos temos que ab < ba é
equivalente a
A observação dos primeiros termos dessa sequência sugere que ela seja
decrescente a partir do terceiro termo, isto é, para n
ba < ab
para 3
Para provar que a sequência em questão é descrescente, devemos verificar
se um termo genérico é menor que o anterior, isto é, se
Os valores da tabela sugerem que (1 + 1/n)n < n,
para n Vamos mostrar que (1 + 1/n)n < 3 para todo n, usando a fórmula do binômio de Newton:
onde a penúltima igualdade é obtida usando-se a fórmula da soma dos termos de uma P.G.
Os casos restantes (a < b < 3 ou a <
3 Se a < b < 3, então necessariamente a = 1 e b = 2 e temos ab < ba.
O caso a < 3
Se a = l, é claro que ab < ba . Se a = 2, o problema
recai em saber qual é maior: 2b ou b2 , sendo
b
vê-se que 2b < b2, para b = 3, e que 2b = b2, para b = 4. O leitor pode agora mostrar (por indução, por exemplo) que 2b > b2 , para todo b > 4. |