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Eric
Campos Bastos Guedes Este artigo mostra um meio de calcular a raiz quadrada de frações. Para isso construímos uma seqüência de frações cujo limite é a raiz de uma fração dada. O método aqui exposto é uma reformulação do tradicional processo iterativo para cálculo da raiz quadrada (ver RPMs 2 e 4), porém oferece a vantagem de que, em todas as suas etapas, as operações são efetuadas apenas com números inteiros. O problema consiste
em achar um valor aproximado, em forma de fração, para
Para isso vamos construir uma seqüência de frações
(s1,s2,s3, . . .)
cujo limite é
Acompanhamos o argumento com o cálculo de
Para continuar a construção da sequência, vamos usar a seguinte propriedade, que o leitor poderá verificar facilmente.
Se usarmos a notação s2n para um termo genérico de índice par, poderemos indicar os passos do processo por
Uma breve justificativa para a convergência da
sequência (s1, s2,...) é obtida observando-se que, para cada
n, o intervalo de extremos nos pontos s2n-1 e
s2n contém o intervalo de extremos
s2n+1 e s2n+2. Além disso,
Um bom exercício é usar o processo exposto
para obter frações que aproximam
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,
onde a e b são inteiros positivos.
.
Seja
s1 = 1 o primeiro termo da seqüência.
está
entre s1 e s2, já que a média entre.
dois números deve estar entre esses dois números.
do que
s1, ou é melhor aproximação do que s2.
o que mostra que
Pela propriedade (l), s5 é uma fração entre s3
e s4 e, portanto, é uma melhor aproximação para
ou
ou ...