Paulo Sérgio C. Lino, de Lavras, MG, estudante de Engenharia, que gosta muito de Matemática Elementar, gostaria de trocar idéias, problemas e outros temas afins, através do endereço: Rua do Instituto, 279; CEP 37200-000, Lavras, MG. Ele envia à RPM algumas observações. A primeira delas se refere à regra de divisibilidade por 8. Em vez da regra mais conhecida, de dividir por 8 o número formado pêlos 3 últimos algarismos do número em questão, ele sugere a seguinte:

Um número é divisível por 8 se, e só se, a soma dos algarismos da unidade com o dobro do das dezenas e o quádruplo do das centenas for divisível por 8..

Dá a prova dessa regra, decompondo o número separando os 3 últimos dígitos dos anteriores e escrevendo o número N da seguinte forma:  N = 1000  N' + 100 a₂ + 10 a₁ + a₀,   donde  N = S ( 125 N + 12a₂ + a₁) + 4a₂ + 2a₁ + a₀, daí a regra enunciada. Exemplifica: para saber que N = l 702 584 é divisível por 8, em vez de dividir 584 por 8, pela sua regra ele deve dividir por 8 o número 4 x 5 + 2 x 8 + 4  ou  40. E, para saber que 18 998 não é divisível por 8, em vez de dividir 998 por 8, ele precisa dividir 4 x 9 + 2 x 9 + 8 ou 62.

Aborda ainda a vantagem da notação do sinal 2 de somatória nas somas longas, como, por exemplo, na soma dos termos de uma progressão aritmética, e promete novos assuntos em uma próxima carta.

RPM: O artigo que você já viu sobre divisibilidade deve ser aquele da RPM 22, pág. 4, ou da RPM 10, pág. 33, mas, se você passar uma vista d'olhos no quadro final do artigo da RPM 6, pág. 21, vai encontrar esse seu critério de divisibilidade por 8.

Qual dos dois é melhor? Depende do número: os exemplos que você deu são favoráveis ao seu critério, mas se  N  for 123 016 ou 456 240 ou 789 806, então o critério mais comum é também o mais simples. Na maioria dos casos, entretanto, ganha em facilidade o seu critério, que, apesar de ter uma operação a mais, exige que se divida por 8 um número menor do que 64, enquanto o critério mais comum exige que se divida por 8 um número maior do que 100.

Quanto ao uso da notação "compacta" para as somas, com o símbolo , a experiência tem mostrado que ela exige um grau de abstração maior do estudante do que a indicação dos primeiros termos da soma seguidos de " ... " e os últimos termos. Parece que, então, o melhor é introduzir o uso do de maneira gradual a fim de que o estudante possa se acostumar aos poucos com a notação e não confunda as dificuldades intrínsecas de um novo problema com aquelas advindas da compactação de notações.

Você concorda? Agradecemos as palavras de incentivo e aguardamos as próximas idéias em futuras cartas, como prometido.

Para os cálculos do dia-a-dia, os 8 dígitos da calculadora do "feirante" são mais do que suficientes. Com efeito, se estamos lidando com um número 12345678 e este 1 for uma tonelada, o 8 estará indicando 8 decigramas, ou seja, menos do que 1 grama em 1 tonelada! Mas, às vezes, gostaríamos de conhecer um pouco mais de um número. Por exemplo,
satisfeitos. Como chegar a todos os algarismos desse período com a calculadora do "feirante"? Esse é o assunto de uma carta de nosso assíduo colaborador , Hideo Kumayama, de São Bernardo do Campo, SP.

Muitas são as mensagens de estímulo que chegam à redação da RPM dirigidas à equipe responsável pela publicação. Ora, dessa equipe fazem parte os editores e funcionários da redação, sediada no Instituto de Matemática e Estatística da USP, funcionária e editores no Rio de Janeiro, junto à sede da SBM, que fica no IMPA/CNPq, demais editores e todos os nossos autores, que se encontram em várias cidades desse nosso grande país. Lançamos mão desta Seção de Cartas do leitor para transmitir a esse valoroso grupo algumas dessas mensagens, que nos estimulam a prosseguir.

Henry Zaslavsky, de Porto Alegre, RS, considera os artigos da RPM de grande valia em seu processo de aprendizagem.

A acadêmica Mariza de Camargo, de Santa Maria, RS, espera ansiosa pela chegada da Revista, com a ajuda da qual tem feito vários de seus trabalhos.

Ricardo Celio da Silva, de Manaus, AM, chama de heróis aqueles que dispendem esforços para elaborar essa excelente Revista.

A universitária Daniela Maria Campos Coelho Mourão, de Governador Valadares, MG, que já dá aulas há dois anos, lê todas as páginas da Revista e quer conhecer agora a Coleção do Professor de Matemática.

Há ainda aquele professor de cursinho que tendo ganho de um aluno, filho de uma de nossas colaboradoras, um exemplar da RPM, entusiasmado exclamou:

Ó! essa Revista é muito boa! E um barato!!! O sobrinho dessa mesma colaboradora flagrou um outro professor de cursinho anunciando uma revista de primeiro mundo, feita aqui no Brasil e ainda gratuita. O único problema é que, para recebê-la, seria necessário pregar uma "mentirinha", dizendo ser professor! Era a Revista do Professor de Matemática'.

 

Uma mosca e três pontos de vista

A colega Chao Ping Iris Yan, do Rio de Janeiro, RJ, contamos uma história dos seus tempos do 2.° grau, mostrando as diferentes soluções dadas para um conhecido problema que seu pai lhe propôs.

Mais tarde ela encontrou esse mesmo problema, classificado como "difícil", na Seção Superdivertido da revista Superinteressante (março/91). Trata-se do seguinte problema:

Dois carros estão em rota de colisão, viajando um em direção ao outro, cada um a 60 km/h. Inicialmente estavam afastados a uma distância de 60 km e uma mosca frenética voa a 120 km/h entre os carros sem parar, deforma que, encostando em um carro, inverta o sentido do voo. Qual a distância efetivamente percorrida pela mosca até o momento da colisão?

Chao diz que sua solução foi considerar cada percurso da mosca de um carro, que ela chamou de A para o carro B, em seguida de B para A e assim por diante.

Partindo de A, ela considerou a velocidade relativa da mosca em relação ao carro B (velocidade de B + velocidade da mosca) para calcular o tempo em que a mosca encontraria o carro B: distância/velocidade = 60/(120 + 60) = 1/3 de hora, que significa que a mosca percorreu 120/3 = 40 km até encontrar o carro B e, nesse instante, os carros estavam já a uma distância de 60 2 x 60/3 = 20 km um do outro.

A mosca irá de B até A num intervalo de tempo igual a 20/180 = 1/9 de hora, tendo andado 120/9 = 40/3 km, nesse percurso. Não foi difícil para Chao desconfiar que essas distâncias formavam uma PG de primeiro termo igual a 40 e de razão igual a 1/3. O que, no limite, daria uma soma igual a 40/(1 1/3) = 60 km.

Chao conta que o pai, depois de assistir a esse esforço da filha, comentou:

"Bem se vê que você é matemática, bastava ter calculado o intervalo de tempo que os carros levaram até a colisão, que é de 60/(60+60) =1/2 hora, e então a mosca, a 120 quilômetros por hora, terá percorrido 60 km!".

A carta prossegue "Meu pai, que é físico, me contou também que um colega seu, engenheiro e que fazia muito bem gráficos a mão livre, assim que soube do problema fez o seguinte desenho e achou a mesma resposta:

No gráfico, C é o ponto de colisão entre os carros, que ocorre no tempo x, e P a posição da mosca no tempo x, o que dá os 60km percorridos."

A colega Chao termina a carta com o seguinte comentário: "Existem várias formas de se resolver o mesmo problema...cada pessoa procura pela solução mais de acordo com sua personalidade. Não foi à toa que eu escolhi fazer Matemática, meu pai, Física e o colega de meu pai Engenharia."

RPM: Essa é uma boa observação para o professor de Matemática, que, além de conhecer as soluções que mais lhe agradam, precisa também conhecer, respeitar e saber analisar as soluções de seus alunos, comparando as vantagens e desvantagens de cada uma!

No caso acima, por exemplo, a solução "matemática" envolve uma misteriosa passagem ao limite, enquanto a solução "engenheira" mistura, perigosamente, gráficos em que as variáveis não são as mesmas.

Repare só: o primeiro eixo significa sempre o tempo contado a partir do instante em que os carros estavam a 60 km um do outro, mas o segundo eixo indica variáveis diferentes - nas retas relativas aos dois carros, essa variável é o espaço percorrido medido em relação ao ponto em que estava o carro A no instante t = 0; já na reta relativa ao movimento da mosca, esse eixo está significando espaço percorrido a partir do instante 0.

No caso do carro A, o segundo eixo pode significar uma coisa ou outra. Por isso, o aparente ponto de encontro entre a mosca e o carro B, que aparece no gráfico num instante entre 0 e x, não tem esse significado; por outro lado, no instante x, os dois carros e a mosca estão idealmente no mesmo ponto, ao contrário do que o gráfico sugere.

Felizmente, na ocasião, o engenheiro fez a leitura certa, tirando os dados que interessavam.

Talvez, mesmo por ser engenheiro! Veja também na RPM 4, pág. 8, o quadrinho sobre esse problema.