Esse livro é composto de 6 partes e 33 artigos, escritos por diversos educadores de universidades dos Estados Unidos, Austrália, Canadá, Israel e México.

Os artigos tratam do ensino da álgebra, no 1.º e 2.° graus, discutindo problemas ou dificuldades de aprendizado e apresentando ótimas idéias para resolvê-los. Exemplificando, citamos alguns artigos: "Ensinando expressões algébricas de maneira significativa"; "Logaritmos, calculadoras e o ensino da álgebra intermediária"; "Dificuldades dos alunos com o conceito de função"; "Das palavras à álgebra: corrigindo concepções erradas"; "Cálculo das raízes de um polinômio com computador"; "Erros comuns em álgebra"; etc.

Além disso, há 24 problemas, inseridos entre os capítulos do livro, do tipo "você é capaz de resolver?", que se sugere sejam apresentados aos alunos na sala de aula.

Para dar uma idéia melhor do espírito do livro, adaptamos parte de um dos artigos, "Uso de polinômios para surpreender", que o leitor pode ler na pág. 2 desta RPM. Ele nos pareceu particularmente interessante e atraente para os alunos, podendo ser usado na sala de aula como motivação para aritmética polinomial.

Ana Catarina Pontone Hellmeister

Martin Gardner
Coleção: O Prazer da Matemática, Gradiva

Esse livro é a tradução portuguesa de Aha! Gofcha: Paradoxes to Puzzie and Delight, que é um clássico entre os livros de divulgação da Matemática. Martin Gardner foi, durante muitos anos, o responsável pela coluna de jogos matemáticos da conceituada revista Scientific American.

Nesse livro, todo dedicado aos paradoxos, o autor nos apresenta os principais paradoxos com os quais nos deparamos nas várias partes da Matemática. O livro é dividido em 6 capítulos, cada um abordando um tipo diferente de paradoxo.

O capítulo 1 menciona os paradoxos dos mentirosos, do cartão, de pessoas que só falam verdades, de barbeiros que barbeiam a si mesmos, etc. (são os paradoxos semânticos ou de Teoria dos Conjuntos). O capítulo é formado por 18 parágrafos, que variam de uma a três páginas, recheados de ilustrações simples mas espirituosas. Os textos são curtos e de fácil leitura e, além dos exemplos mencionados, são apresentados e discutidos alguns paradoxos mais recentes, como o de Newcomb. Também há "explicações" que podem ser dadas em termos da Teoria dos Tipos ou através da idéia de metalinguagem.

Os demais capítulos seguem a mesma estrutura de organização, embora dedicados a diferentes temas:

A Teoria dos Números aparece no segundo capítulo, no qual além de conhecidas perguntas sobre infinitos e truques sobre números inteiros, discute-se a interessante questão de se armazenar todo o conteúdo de uma enciclopédia numa vareta de madeira através de um entalhe gravado nela.

O capítulo 3 é dedicado à Geometria, e um parágrafo excelente é aquele em que vemos uma figura com 15 duendes, que se transformam em 14 por um simples rearranjar de pedaços; é realmente intrigante.

O capítulo 4 cuida das dificuldades com que nos deparamos ao tratar questões de probabilidades sem o devido cuidado: argumentos falaciosos em jogos, apostas e situações do cotidiano (por que quando estamos nos andares altos de um prédio o elevador que para é sempre o que está subindo?) são analisados com o estilo bem-humorado do autor.

No capítulo 5 o tema é Estatística, e aprendemos entre outras coisas que o "improvável" é "altamente provável", além de conhecermos o interessante "paradoxo eleitoral" (tema tratado na RPM 16, pág. 10).

O último capítulo trata dos paradoxos sobre tempo, movimento e "tarefas impossíveis". Além dos conhecidos paradoxos de Zenão e contradições das viagens no tempo, temos a história da minhoca que caminha 1 cm por segundo sobre uma corda elástica de 100 000 cm, corda que aumenta 100 000 cm a cada segundo; ainda assim, a minhoca consegue chegar na outra extremidade da corda!

Esse livro contém 244 páginas do mais puro prazer de raciocínio.

Cláudio Possani

Howard Eves
Editora da UNICAMP

Já se disse que a Matemática é ao mesmo tempo rainha e serva das ciências. Com efeito, ela tem significado próprio, como corpo de saber autônomo; e também permeia todas as disciplinas do conhecimento, fazendo-se nelas presente como instrumento decisivo de sua construção e desenvolvimento.

Foi Pitágoras, na Antiguidade, quem primeiro percebeu, ainda de maneira pouco definida, que o universo que habitamos é regido por leis matemáticas precisas. Mas foi só a partir de uns 400 anos atrás que a revolução científica tomou impulso e passou a caminhar com intensidade sempre crescente, esclarecendo e provando a tese pitagórica. Por causa dessa revolução, nossa visão atual do mundo é bem diferente daquela de apenas três séculos atrás, quando o sistema solar era praticamente todo o universo. Sabemos hoje que somos uma parcela ínfima de uma enorme galáxia, dentre bilhões de outras que se espalham por todo o espaço. O microcosmo também foi desvendado nos últimos cem anos. E na Biologia encontramos descobertas surpreendentes que mudaram radicalmente nossa visão acerca do mundo e de nós mesmos, como a teoria da evolução no século XIX e o código genético há menos de meio século.

Todo esse progresso e muito mais, no domínio das ciências exatas, seria impensável sem a intervenção direta ou indireta da. Matemática. Mas sua ação vai além, permeando as artes, as humanidades e a Filosofia. (Veja nosso artigo na RPM 27.) Assim, ela é instrumento essencial na mais abrangente concepção que hoje formamos do universo e do homem. E ela também nos permite compreender o alcance e as limitações de nossa inteligência e do nosso conhecimento.

Uma apreciação adequada desse importante papel da Matemática no conhecimento humano requer que seu aprendizado mostre, ao mesmo tempo, seu desenvolvimento ao longo dos vários períodos históricos e suas interações com outras áreas científicas. Daí a necessidade, em particular, do estudo da evolução das idéias, principalmente nos cursos de licenciatura, para dar aos futuros professores uma visão mais ampla da disciplina que vão ensinar.

A História da Matemática, propriamente dita, exige muito de quem a ela se dedica em termos de experiência e conhecimento. Estudar obras do passado não é tarefa fácil, seja no original, seja em versões mais facilitadas de autoria de estudiosos competentes. E um tal estudo não pode se restringir apenas ao lado pitoresco e ameno, como as biografias e as pequenas histórias que cercam os personagens da História maior. Nem sempre se deve negligenciar a parte mais substancial ligada ao surgimento e desenvolvimento das idéias. E nessa tarefa o estudioso tem de se familiarizar com a história da civilização, que é o pano de fundo sobre o qual se desenha o fascinante jogo da invenção e da descoberta.

O livro de Howard Eves, que ora vem a público em língua portuguesa, atende muito bem às várias exigências de um estudo de História da Matemática. Essa última versão da obra traz valiosos Panoramas Culturais, que descrevem, como o próprio nome diz, os aspectos da cultura dos diferentes períodos em que se desenvolveram as idéias matemáticas. Isso ajuda muito o leitor a se situar no ambiente da época e a bem entender o desenrolar dos fatos.

Uma das dificuldades com que freqüentemente se depara um professor de História da Matemática, nos cursos de licenciatura, é a de encontrar problemas que se possam propor aos futuros professores. Essa dificuldade não existe com o livro de Howard Eves, pois ele traz um número substancial de problemas em suas listas de Exercícios ao final de cada capítulo, muitos deles tirados de textos escritos nos diferentes períodos históricos, portanto, muito adequados para ilustrar aqueles tópicos que estão sendo estudados.

Um outro ponto a enfatizar são as listas de Temas que também aparecem no final dos capítulos, todos sugeridos para desenvolvimento por parte dos alunos. Como nos conta o próprio autor, na Introdução, muitos desses temas foram utilizados por estudantes em vários cursos e deram origem a dissertações e trabalhos de tão boa qualidade que acabaram sendo publicados em conceituados periódicos especializados.

Para o professor de História da Matemática as listas de exercícios e de temas são um recurso valioso, pois lhe fornecem o material adequado para motivar os alunos a tomar iniciativa em trabalho independente.

O livro de Howard Eves é de leitura suave e agradável. Ele apresenta o lado ameno e pitoresco das biografias e das histórias, sem descurar a difícil análise das obras matemáticas do passado. Por isso, será de muita utilidade a todos que se interessam por um cultivo mais abrangente da Matemática e não apenas pelo estudo isolado de capítulos especializados. Pelas suas qualidades didáticas, certamente será útil em vários cursos universitários, mas principalmente nos de licenciatura, nos quais um curso bem-estruturado de História da Matemática é muito importante para uma formação mais completa do professor.

Um outro ótimo livro de História da Matemática, muito conhecido entre nós, é o de Carl Boyer, traduzido para o português há mais de duas décadas. Cabe mencionar que o texto de Howard Eves não duplica, mas complementa o de Boyer, já que os dois têm características distintas; e ambos têm mérito largamente reconhecido e consagrado em seu país de origem, os Estados Unidos.

A pessoa interessada pode adquirir o livro (843 páginas) em livrarias, ou escrevendo diretamente à Editora da Unicamp, Caixa Postal 6074, Campinas, SP, CEP 13083-970;

Preço na Editora: R$ 75,00.

Geraldo Ávila