![]() |
|
|
|||
![]() |
Flávio Wagner Rodrigues
O Binômio de Newton é tão belo quanto Vênus de Milo. O que há é pouca gente para dar por isso. Fernando Pessoa Embora a Matemática tenha certamente coisas muito mais belas que o Binômio de Newton, é difícil discordar da idéia do poeta de que a beleza nem sempre salta aos olhos do observador, exigindo muitas vezes trabalho e esforço para ser devidamente apreciada. O principal objetivo deste artigo é convencer o professor a utilizar em suas aulas, além da abordagem tradicional, outras maneiras de interpretar e demonstrar propriedades dos coeficientes binomiais. Vamos discutir alguns tópicos que julgamos interessantes e que raramente são apresentados, sob esse enfoque, nos textos didáticos. O leitor interessado encontrará mais material sobre o assunto no livro [2] que aparece na bibliografia. Vamos começar, lembrando algumas definições e propriedades. l. Para n e k inteiros não negativos, o coeficiente
binomial de numerador n e denominador k é definido por:
Obs.:
Embora o lado direito de ( l ) faça sentido quando k é inteiro
positivo e n, um número real qualquer, nós vamos considerar apenas
os casos em que n é um inteiro não negativo.
2. O Binômio de Newton
3. O triângulo de Pascal
A soma dos elementos de qualquer coluna do triângulo de Pascal, começando com o primeiro elemento e terminando num elemento qualquer, é igual ao elemento que aparece na linha e na coluna seguintes àquelas à qual pertence a última parcela da soma (ver ilustração acima).
Em símbolos:
Na maioria dos textos didáticos a demonstração desse teorema é feita por indução ou por repetidas aplicações da relação de Stiffel:
A sequência (l +
x)k (1 + x)k+1,... , (l + x)k+n
é uma progressão geométrica com
n+ l termos, cujo
primeiro termo é (1 + x)k e cuja razão é l + x . Usando a fórmula
dos termos de uma P.G., para x
Vamos igualar os coeficientes de xk nos dois lados da identidade (3).
Com o objetivo de tomar mais claras as idéias envolvidas, vamos considerar o caso particular k = 3 e n = 4. Portanto, desenvolveremos o argumento para mostrar (sem efetuar os cálculos) que : Acreditamos que o leitor não terá maiores dificuldades para (se assim o desejar) ler, mais à frente, o argumento no caso geral.
......................................................................................... Em geral,
o que conclui a demonstração
do teorema das colunas.
.........................................................................................
Iguale os coeficientes de xk nos dois lados da identidade: (l + x)n xk + (l +
x)n+l xk-1 +
. . . + ( l + x)n+k = (l + x)n+k+1
Vamos, uma vez mais, discutir um caso particular, mostrando que
Vamos agora contar o número de elementos de cada um desses conjuntos.
O número
O leitor encontrará abordagens desse tipo para mostrar outros tópicos tais como o teorema das linhas, a fórmula de Euler, nos textos mencionados na bibliografia. Esperamos que os professores se sintam estimulados a mostrar aos seus alunos o lado prático das demonstrações que utilizam casos particulares da fórmula do binómio e a beleza e elegância dos argumentos combinatórios. O caminho é certamente mais longo, mas a paisagem vale a pena. Referências Bibliográficas [l] COHEN. D.I.A. Basic Techniques of Combinatorial Theory. New York: John Wiley & Sons, 1971. [2| MORGADO. A.C.O. et alii. Analise Combinatória e Probabilidade Rio de Janeiro: IMPA-VITAE, 1991. |3] NIVEN, I. Mathematics of Choice. New York: Random House. 1972.
|