No decorrer de 1995 a RPM recebeu vários artigos sobre divisão de números inteiros e sobre divisão de frações. Todos os autores ressaltavam a dificuldade que o professor encontra ao ensinar esses tópicos.

Apresentamos a seguir três desses artigos, vindos de diferentes regiões do Brasil.
 

Geraldo de Oliveira Macedo Júnior
Fortaleza, CE

1.   Muitas vezes, alguns professores apresentam o algoritmo usual da divisão de dois números naturais como algo pronto e acabado, ou têm dificuldade para explicar a lógica que está por detrás do processo. O objetivo deste artigo é apresentar, não um novo algoritmo para a divisão, e sim o velho processo "esmiuçado e clarificado".  O ideal é que o professor crie situações nas quais as crianças, através da discussão coletiva,   tirem   suas   próprias   conclusões.   Cada   nova   passagem (descoberta) deve ser motivada tanto pela necessidade quanto pela curiosidade.  Vamos então partir de uma situação fictícia, mas concreta:

"Ao morrer, um sitiante deixou 13 bois como herança para seus três filhos. Segundo sua vontade, a herança deveria ser repartida em partes iguais entre seus filhos, e o que sobrasse, doado aos pobres. Pergunta-se: Quantos bois recebeu cada filho? Quantos foram doados aos pobres? "

2.   Como estamos admitindo conhecidas apenas as operações de adição e subtração, vamos começar entregando um boi por vez a cada um dos filhos, até que as quantidades recebidas por cada um deles sejam iguais e o restante não permita mais continuar.

No   primeiro   passo,   damos   um   boi   para   cada   filho,   retirando (subtraindo), para isso, 3 bois do total, que fica com  10 bois.

No segundo passo, entregamos mais um boi a cada filho, subtraindo, para isso, mais 3 bois do total, que fica com 7 bois, enquanto cada filho fica com 2 bois.

Repete-se o processo no terceiro passo, subtraindo mais  3  bois do total, que fica com 4 bois, enquanto cada filho fica com 3 bois.

Repete-se o processo no quarto passo, subtraindo mais 3 bois do total, que fica com 1 boi, enquanto cada filho fica com 4 bois.

Finalmente, descobrimos que cada herdeiro receberá  4  bois, enquanto 1  boi será dado aos pobres.

3. A partir de um exemplo como esse (evidentemente o professor poderá compor outros análogos, para efeito de fixação), é bem natural chamar essa operação de divisão ou repartição. O número de bois a ser dividido, ou repartido, é o dividendo D, o número de filhos pelo qual se divide é o divisor d, o número de bois dados a cada filho é o quociente q, e o número de bois que sobraram é o resto r. No exemplo, temos:

D =13        d = 3        q = 4        r = l

Observando o processo, constata-se que:

Dividir é subtrair do dividendo parcelas iguais ao divisor, até que o que sobre seja menor que o divisor. O quociente será o número de subtrações realizadas, enquanto o resto será o que sobrar no final.

4. Procuremos esquematizar o processo de uma maneira mais simples. Uma sugestão seria o do esquema (1). Nele pode-se ler o dividendo, o divisor e o resto. Porém, o quociente não fica registrado, tendo que ser obtido por contagem do número de subtrações.

esquema 1                   esquema 2                                               esquema 3               

Para eliminar tal inconveniente, poderíamos ir registrando, em um lugar próprio, uma unidade cada vez que realizássemos uma subtração, como no esquema (2).

O esquema (3) mostra como resolver o mesmo problema no caso de 96 bois e 17 herdeiros, onde cada herdeiro receberá 5 bois e sobrarão 11 bois.

5. Divida   2879 por 23
Agora, o professor deverá fazer algumas experiências para que os alunos se convençam de que será necessário subtrair 23 um número muito grande de vezes, na realidade mais de 100 vezes! Se a cada subtração de 23, o quociente é acrescido de 1 unidade, então, se subtrairmos 230, devemos acrescentar 10 unidades (ou uma dezena) ao quociente. Para andar mais rápido ainda, podemos subtrair 2 300, registrando 100 unidades (ou uma centena) no quociente. Em seguida subtraímos 230 de 570 duas vezes, registrando 2 dezenas no quociente. No terceiro passo, subtraímos 23 de 119 cinco vezes, levando 5 unidades para o quociente. Utilizando a numeração de posição, ficaria:

1.° passo                                  2.° passo                              3.° passo

6. O professor deve desenvolver tal trabalho em um período relativamente longo, até que o algoritmo usual se imponha naturalmente. O problema da divisão da herança também permite ilustrar a relação fundamental D = dq + r, a qual deve ser introduzida paulatinamente durante o processo de aprendizagem da divisão.

O autor agradece a colaboração do Prof. Guilherme LA. Ellery, UFC/UECE, na forma de críticas e sugestões.