130. Utilizando apenas uma régua (sem escala) que permite traçar paralelas, determinar o ponto médio de um segmento dado. Justificar.
(Sugerido por Paulo Ferreira Leite, São Paulo, SP.)

131. Na figura temos dois círculos de mesmo raio, com centros em O e O', tangentes entre si.. Calcule a distância entre as retas paralelas r e s de modo que as duas regiões hachuradas tenham a mesma área. (Enviado por Regis Sant 'Ana, PR.)

a) Mostre que f(0) = 1;  f(2) = 1;  f(3)=0  e  f(4) = 1.

b) Mostre que f (x + 4) = f(x) , para todo x real.

c) Existe, de fato, uma tal função?
Sugestão: Tente encontrar uma função trigonométrica verificando as condições dadas.
 (Proposto por Cláudio Arconcher, Jundiaí, SP.)

133. Oito times disputam a inclusão no quadrangular final de um campeonato de futebol. Sabe-se que cada par de times joga uma só vez entre si e que, em caso de vitória, o time ganha dois pontos, no caso de empate, ganha um ponto e, na derrota, não ganha ponto. Qual é o número mínimo de pontos que um time deve alcançar para garantir a passagem para o quadrangular final? [Do livro Olimpíadas de Matemática do Rio de Janeiro (veja p. 55 nesta RPM).]

1. Uma pessoa, escrevendo a sucessão dos números naturais (começando pelo zero), interrompeu seu trabalho em um certo número. Qual é esse número se, até parar, a pessoa escreveu 7 350 algarismos?
(Enviado por Max Denis de L. Santos, Maceió, AL.)

2. Considere uma ampulheta (relógio de areia) formada por dois cones iguais de 12 cm de altura. Suponha que o cone superior, completamente cheio de areia na hora zero, se esvazia em 24 horas. Qual é a hora do dia no momento em que a altura da areia, no cone superior, é metade da altura desse cone?
(Da revista El Acertijo, n° 19 — Buenos Aires, Argentina.)

3. Escreva nas casas vazias algarismos de l a 8 de modo que as igualdades se verifiquem, no sentido das flechas. (Da revista El Acertijo, n° 19.) (Ver respostas no final desta seção )

722. Entre todos os triângulos de lados inteiros que têm um dos ângulos igual ao quíntuplo de um outro, determine aquele que tem os menores lados possíveis.

Solução:

Pela lei dos senos, tem-se

Através das fórmulas das funções trigonométricas da soma de arcos, obtém-se:

Pela lei dos cossenos conclui-se que    cos   é racional. Assim, 2 cos = p/q , com p e q inteiros e sem fatores comuns. Portanto,

Os menores lados inteiros que satisfazem   (5) são   a = q⁵  e  c = p⁵ q²(4 p³ 3pq²) . De fato, se esses números admitissem um fator comum, que podemos supor primo, então p e q não seriam primos entre si. Logo, de (4) temos: b= p⁴q 3p²q³ + q⁵.

Como 0°< 6 <180°, tem-se 0°< <30° e, conseqüentemente, < p/q < 2 . A fração de menor denominador que satisfaz essa inequação é  p/q = 7/4,  que leva a   a = 1024,  b=1220 e   c = 231.

Observamos ainda que, para q 5, temos  a = q⁵ 3125.  Se 0° < 18° , então sen 5 >sen , já que a função seno é crescente no 1.° quadrante Se 18° < 30°, então a desigualdade também se verifica, pois sen 5 > 1/2 > sen . Portanto, através de (l) , temos b>3125. Finalmente,

c = p⁵ 4p³q² + 3pq⁴ = p (p⁴ p²q² 3p²q² + 3q⁴) =

= p[p²(p²-q²) 3q²(p² q²)] = p(p² 3q²)(p² q²),

e p² 3q² é positivo e inteiro (p² 3q² l), logo,

c p(p² q²) > q³ > 400.

Portanto o triângulo encontrado "tem os menores lados possíveis".

Obs.: O problema original, enviado com solução por Rubem Alva Cabrera, é mais geral substituindo no enunciado "quíntuplo" por "múltiplo".

123. Na figura AD=BC. Determine o ângulo BCD.

Solução:

Construimos o triângulo equilátero ACE. Os triângulos BCE e ACD são congruentes, pois CE=AC, BCE  = DAC = 100° e BC = AD.

Logo , - BEC = 40 + x. Como o triângulo ABE é isósceles, então AEB = 10° e, portanto, x=10°,

[Solução enviada por Paulo Roberto Furtado Dias, RJ.]

124. São dadas duas progressões aritméticas distintas cujos termos são números inteiros positivos. Determine condições que devem ser satisfeitas para que existam termos comuns às duas progressões.

Solução:

Sejam (a₁,r) e (a'₁,r') as duas progressões. Se  a₁ = a'₁, as duas progressões terão termos em comum. Vamos supor, sem perda de generalidade. que a₁ > a'₁. Para que existam termos em comum é necessário que existam inteiros positivos m e n tais que  a₁+ nr = a'₁+ mr'. Portanto, o, a₁ a'₁ = mr' nr . Para que existam soluções inteiras, é necessário que a₁ a'₁  seja múltiplo do máximo divisor comum de  r e r'.
[Adaptado da solução enviada por João Linneu do Amaral Prado, SP.]

125. Determine um polinômio P(x), com coeficientes inteiros, tal que  x₀ =   seja uma raiz da equação P(x) = 0 . Resolva a mesma questão para  x₁ = .

Solução:

Primeira parte: x 1 = (x 1)³ = 5  x 3x² + 3x l = 5 . Donde segue que o polinômio procurado é P(x) = x 3x² + 3x 6.

Segunda parte:

[Solução enviada por vários leitores.]