Por intermédio de um colega, tomei conhecimento do artigo intitulado “O Teorema de Euler sobre poliedros”, escrito pelo Professor Elon Lages Lima e publicado no número de outubro de 1982 do “Noticiário da Sociedade Brasileira de Matemática”.

Sou professor de Matemática e já perdi a conta do número de vezes que demonstrei - ou julguei tê-lo feito - em classe o Teorema de Euler para poliedros. Por isso fiquei muito chocado ao saber que a demonstração que sempre usei, e que consta de todos os livros-texto que conheço, não está certa.

Na esperança de aprender uma demonstração correta, li com grande atenção o referido artigo. Estou agora convencido de que a argumentação que eu utilizava é insuficiente. Infelizmente, a maneira sugerida pelo autor do artigo para corrigir o que ele chama “a demonstração de Cauchy” me parece excessivamente elaborada e longa para o nível dos alunos de nossos colégios. Por outro lado, num trecho do seu trabalho, o Professor Elon menciona uma demonstração particular, válida apenas para poliedros convexos, e faz referência a um livro de autores alemães, traduzido para o inglês, onde se encontra tal prova.

Consegui uma cópia xerox daquela demonstração e, depois de meditar assunto, decidi que prestaria um serviço aos meus colegas divulgando a minha maneira de ver essa prova do Teorema de Euler.

O teorema a demonstrar é o seguinte:

Seja P um poliedro convexo com F faces. A arestas e V vértices. Tem-se necessariamente F - A + V = 2.

Para que não haja ambigüidade quanto aos termos que empregaremos, é conveniente relembrar algumas definições.

Um conjunto C, do plano ou do espaço, diz-se convexo quando qualquer segmento de reta que liga dois pontos de C está inteiramente contido em C.

Um poliedro é uma reunião finita de polígonos convexos, chamados as faces do poliedro. Os lados desses polígonos chamam-se arestas do poliedro e os vértices: dos polígonos são também chamados vértices do poliedro. Exige-se ainda que a interseção de duas faces quaisquer do poliedro seja uma aresta comum a essas faces, ou um vértice comum, ou seja vazia.

Diz-se que um poliedro é convexo quando ele limita um sólido convexo no sentido da definição acima. Cada aresta de um poliedro convexo é lado de exatamente duas faces desse poliedro. Aceitaremos este fato como parte da definição, embora saibamos que ele pode ser demonstrado a partir dela.

Para demonstrar o Teorema de Euler começamos escolhendo uma reta r que não seja paralela a nenhuma das faces do poliedro convexo P. Tomamos também um plano H, que não intersecta P e é perpendicular a reta r. O plano H será chamado plano horizontal e as retas paralelas a r (logo perpendiculares a H) serão chamadas retas verticais. H divide o espaço em dois semi-espaços, um dos quais contém o poliedro P. Este será chamado o semi-espaço superior; diremos que seus pontos estão acima de H.

Para melhor ilustrar nosso raciocínio, imaginaremos o sol brilhando à pino sobre o semi-espaço superior, de modo que seus raios sejam retas verticais. A cada ponto x do semi-espaço superior corresponde um ponto x em H, chamado a sombra de x, obtido como interseção do plano H com a reta vertical que passa por x. A sombra de qual­quer conjunto X, contido no semi-plano superior é, por definição, o conjunto X’, contido em H, formado pelas sombras das pontos de X.

A interseção de uma reta vertical com o conjunto convexo limitado pelo poliedro P é um subconjunto convexo dessa reta, logo (se não for vazia) é um segmento de reta, cujos extremos pertencem a P, ou é um único ponto de P. Segue-se que uma reta vertical arbitrária só pode ter 0, 1 ou 2 pontos em comum com o poliedro convexo P.

A observação acima pode ser reformulada do seguinte modo: cada ponto da sombra P’ do poliedro P é sombra de um ou de dois pontos de P.

Ora, a sombra P’ do poliedro P é um polígono convexo do plano horizontal, cujo contorno  é a sombra de uma poligonal fechada , formada por arestas de P. Cada ponto de  é sombra de um único ponto de P (pertencente a ). A poligonal  é chamada o contorno aparente do poliedro P. Cada ponto interior de P’ (isto é, não pertencente a ) é sombra de 2 pontos de P. Dados dois pontos de P que têm a mesma sombra, ao mais alto (mais distante de H) chamaremos ponto iluminado; o mais baixo será chamado sombrio.

Assim, a poliedro P se decompõe em 3 partes disjuntas: o conjunto dos pontos iluminados, o conjunto dos pontos sombrios e o contorno aparente .

Por exemplo, seja P o cubo que tem os quadrados ABCD e A’B’C’D’ como faces opostas. Pendurando-o pelo vértIce A (de modo que A e C’ estejam na mesma vertical), as faces AA’B’B, AA’D’D e ABCD ficarão iluminadas e as outras 3 sombrias. O contorno aparente será a poligonal A’B’BCDD’A’.
 

Seja P₁  o conjunto dos pontos iluminados de P mais o contorno aparente y. Cada ponto de P’ é a sombra de um único ponto de P₁ . Noutras palavras, a regra que associa a cada ponto x de P₁  sua sombra x’ é uma correspondência biunívoca entre P₁  e P’. Usaremos a notação P₁  para representar o polígono P’ decomposto como reunião de polígonos justapostos, que são sombras das faces contidas em P₁, isto é, das faces iluminadas.

Evidentemente, poderíamos também considerar o conjunto P₂ , formado pelos pontos sombrios de P mais o contorno aparente y. A regra que associa a cada ponto y de P₂  sua sombra y’ também é uma correspondência biunívoca entre P₂ e P’. Escreveremos P₂ para indicar a sombra de P₂ expressa como reunião das sombras das faces sombrias de P, isto é, contidas em P₂ .

Complementaremos os preparativos para a demonstração do Teorema de Euler observando que se decompusermos cada face de P em triângulos, traçando diagonais em cada uma delas, alteraremos os números F, A e V individualmente, mas a expressão F–A+V permanecerá com o mesmo valor. Com efeito, cada vez que se traça uma diagonal numa face, os números F e A aumentam, cada um, de uma unidade e o numero V não muda. Na expressão F–A+V, os acréscimos de F e A se cancelam. Portanto, a  fim de demonstrar o Teorema de Euler, não há de generalidade em supor que todas as faces do poliedro P são triângulos. Esta hipótese será feita a partir de agora.

Como toda face tem 3 arestas e cada aresta pertence a 2 faces, segue-se que 3F = 2A esta relação será usada logo mais.

Montando o cenário e apresentados os personagens, iniciaremos agora a ação. A idéia da demonstração consiste em calcular de duas maneiras distintas a soma S dos ângulos internos dos triângulos que compõem o poliedro P.

Em primeiro lugar, há F triângulos e a soma dos ângulos internos de cada um deles é igual a 2 ângulos retos, isto é, a p radianos. Portanto S = ^. F. Como F = 3F – 2 = 2A – 2F, podemos escrever:

  S = 2 ^. A – 2 ^. F.

Por outro lado, temos S = S₁ + S₂, onde S₁ é a soma dos ângulos internos dos triângulos iluminados e S₂ é a soma dos ângulos internos dos triângulos sombrios.

A fim de calcular S₁, partimos da observação super-evidente (porém crucial) de que a soma dos ângulos internos de um triangulo T é igual à soma dos ângulos internos de sua sombra T’. Daí resulta que S₁ é igual à soma dos ângulos internos dos triângulos nos quais esta decomposto o polígono convexo P’₁, sombra de P₁. Para calcular esta última soma, somemos os ângulos vértice  a vértice, em vez de soma-lo triângulos por triangulo, como acima.

Sejam V₁ o numero de vértices iluminados, V₂, o numero de vértices sombrios e  V₀ o numero de vértices do contorno aparente . Então V = V₀ + V₁ + V₂. Notemos ainda que V₀ também o número de vértices (e de lados) da poligonal ’, contorno do polígono convexo P’.

Em P₁ temos V₁ vértices interiores (sombras dos vértices iluminados) mais V₀ vértices do contorno ’. A soma dos ângulos  que têm como vértices um dado vértice interior é igual a 2 radianos (4 ângulos retos). A soma de todos os ângulos que têm vértice sobre o contorno ’ é igual a (V₀ – 2), de acordo com a expressão bem conhecida da soma dos ângulos internos de um polígono com V₀ lados. Segue-se que:

  S₁ = 2 . V₁ + (V₀ – 2).

Por um raciocínio inteiramente análogo, obteríamos:

S₂ = 2 . V₂ + (V₀ – 2).

Somando estas duas igualdades, vem:

Comparando com a igualdade S = 2 . A – 2 . F, acima, obtida, e dividindo por 2 , resulta que

  A – F = V – 2,

ou seja,

F – A + V = 2,

como queríamos demonstrar.