XXIV Olimpíadas Internacional de Matemática

A XXIV Olimpíada Internacional de Matemática realizou-se em Paris, de 1 a 12 de julho p.p. com a participação de 32 países representados por 186 estudantes.

A equipe brasileira foi constituída pelos que melhores desempenhos tiveram na 4.ª Olimpíadas Brasileira: Alair Pereira do Lago, Eduardo de Sequeira Esteves, Fábio de Sales Guerra Tsuzuki, José Carlos Simon de Miranda, Leda Maria Passos Faria Braga e Ney Diniz Bretas.

Para evidenciar a dificuldade dos 6 problemas da Olimpíada mencionamos o fato de que apenas 4 dentre os 186 participantes acertaram todos. Alair, José Carlos  e Ney acertaram, cada um, integralmente dois problemas e trabalham suficientemente os demais para obterem um “3.° prêmio”. Foi a primeira vez que o Brasil conquistou três prêmios (em 1981 conquistou um “1º prêmio” e em 1982, um “3.° prêmio”).

A próxima Olimpíada Internacional se realizará na Tchecoslováquia, em julho de 1984.

Como os Estados Unidos formaram sua equipe:

- No dia 1º de março de 1983, 400.000 estudantes fizeram o “American High School Examination” (930 testes de 5 alternativas);

- Os 1823 estudantes que no exame acima fizeram 95 ou mais pontos foram convidados a participar do “American Invitational Examination”;

- Os 54 estudantes que neste exame obtiveram 10 ou mais pontos (de um total de 15 possíveis), foram convidados a participar da XII Olimpíada Americana de Matemática realizada em 3 de maio;

- Em junho, os 8 vencedores da Olimpíada, juntamente com 16 outros que tiveram bom desempenho, participaram de um seminário intensivo, durante 3 semanas, na Academia de West Point;

- Deste grupo de 24 estudantes foram escolhidos os 6 que integraram a delegação americana.

No Brasil, não temos ainda condições de usar um processo tão elaborado para localizar jovens com talento especial para Matemática. Você que é professor, entretanto, pode nos ajudar a localizá-los. Eles têm o direito de receber atenção individual tanto quanto os excepcionais deficientes. E nós, da Comissão de Olimpíada, podemos oferecer-lhes algo neste sentido.

A 5.ª Olimpíada Brasileira realizou-se no dia 01.10.83, em cerca de 20 cidades espalhadas do Brasil.

A prova constou de 6 problemas: 3 comuns para todo o Brasil e 3 escolhidos pelo Coordenador da cada região.

Os vencedores da 5.ª Olimpíadas serão anunciados no dia 21.11, numa solenidade a se realizar na Academia Brasileira de Ciências no Rio de Janeiro.

Publicamos adiante os problemas comuns para todo o Brasil e as suas soluções.

Antes, porém, vale a pena reafirmar que problemas de Olimpíadas Nacionais são problemas difíceis, cuja resolução exige do estudante uma habilidade bem acima da usual.

Não é de se esperar que um professor de 2.° ou mesmo de 3.° grau, ainda que excelente, saiba resolver os problemas logo após sua leitura – ao contrário – mais natural é que o professor só chegue eventualmente à solução se dedicar horas ao problema.  Mesmo assim, Olimpíadas Brasileiras têm mostrado que, anualmente, no meio dos cerca de 1.000 participantes, existem aqueles 10 ou 15 para os quais as soluções ocorrem rapidamente e que resolvem os problemas com facilidade e elegância.

É muito importante que nós nos possamos  certificar de que esses 10 ou 15 jovens não interrompam seus estudos por questões econômicas e que tenham a possibilidade de freqüentar as melhores Universidade que o País possui.

Acrescentamos com satisfação que todos os vencedores de cada Olimpíada Brasileira tem ingresso na Universidade, mesmo aqueles que teriam parado de estudar muito antes se não fossem as Olimpíadas. Após o ingresso na Universidade, eles têm recebido uma Bolsa de Iniciação Cientifica do CNPq, que consiste em um auxilio pecuniário, aliado a uma atenção especial a eles dedicada por um Orientador.

1. Mostre que o numero de solução de

com x, y e z naturais, é finito.

Solução

Pelo menos um dos números x, y ou z é menor do que ou igual a 3 . 1983 (porque se todos fossem maiores do 3 . 1983, a soma de seus inversos seria menor do que 1/1983).

Seja x < y < z e x 3. 1983.

Para cada natural  x 3 . 1983.

(porque se ambos fossem maiores do que 2 / t, a soma de seus inversos seria menor do que t).

Para cada natural x 3.1983 e cada natural y   2 / t, o natural z, se existir, é único. Portanto o número de solução é finito.

2. O triângulo ABC é eqüilátero, de lado a. Sobre os lados do triangulo constroem-se três quadrados: ABRS, ACMN e BCPQ. Esses quadrados são bases de três pirâmides quadrangulares de vértices V₁, V₂ e V₃, sendo todas suas arestas iguais a a. Efetuam-se as rotações em torno dos lados AB, BC e AC de modo que  V₁=V₂=V₃. Demonstre que, após as rotações MNPQR são vértices de um hexágono regular.

  Solução:

Seja V o ponto onde  V₁, V₃ e V₃ coincidem. O tetraedro VABC é regular e VARBS é uma pirâmide de base quadrada (ABRS) com face (VAB) em comum com o tetraedro. Mostremos que os planos ABC e VRS são paralelos. Para tanto, tomemos os pontos médios X de AB e Y de RS. O quadrilátero VCXY é um paralelogramo pois VC = XY = a e VY = CX = a . Então VY é paralelo ao plano ABC. Claramente RS é paralelo ao plano ABC.  

3. Mostre que, para todo natural n,  n 2,

  Solução:

- n está entre duas potencias de 2:  2^s  n < 2^s+1;

- todo número maior do que zero é o produto de uma potência de 2 por um número ímpar.

Em particular, todo numero p n é da forma: p = 2^k (2r + 1) com k s. Um desses números 
p é 2^s.

- seja o I o produto de todos os números ímpares menores do que ou iguais a n;