Alguns leitores escreveram sobre a demonstração  da regra “regra dos sinais” dada no número 1 da RPM. Numeremos as cartas:

1.Pedro Paulo, de Ubatuba, SP/ achou a demonstração “muito algebrista e cansativa”. Sugere um alternativa geométrica, baseada no diagrama abaixo onde os segmentos inclinados são  paralelos. Diz que leu esta explanação numa revista estrangeira, cujo nome não se lembra mais.

2. Léa Santos, de São Paulo, Capital, lembra a seguinte ilustração, que leu no livro de Morris  Kline Ö fracasso da Matemática Moderna. Pág. 191. “...um ganho será representado por um número positivo e a perda por um número negativo. Igualmente, o tempo no futuro será representado por um número positivo e no passado  por um número negativo.... Se perde 5 dólares por dia, então daqui a 3 dias terá perdido  15 dólares...(-5)(+3) = - 15... se perde  5 dólares por dia, então há 3 dias atrás estava  15 dólares mais rico...(-5) (-3) = +15”.

3. Marcelo Lellis, de São Paulo, Capital, apresenta uma proposta didática, que atribui ao Professor A. Bloch, para justificar que o produto de dois números negativos seja positivo. Ele parte da  observação de que (-2).3 = -6, (-2).2 = -4, (-2).1 = -2, (-2).0 = 0 e, notando  que esses produtos crescem (“de dois em dois”) é  natural esperar que a regra  se mantenha e sejam  (-2)(-1) = 2, (-2)(-2) = 4, etc.

4. Fred Gusmão dos Santos, de Mogi das Cruzes, SP., dá a seguinte versão de como obter a regra dos sinais. Em primeiro lugar, como  5.(2-2) = 0, pela lei distributiva vem 5 .2+ 5.(-2) = 0. ou 0 +5(-2)=0, logo  5.(-2) = -10. Em seguida, como –5 (2-2) = 0, novamente temos –5.2+(-5)(-2) = 0,  ou seja, -10+(-5)(-2) = 0, logo (-5)(-2) = 10.

Antes de mais nada, queremos agradecer a todos os que nos escreveram. Isto nos faz sentir  que estamos alcançando nossos objetivos.

Em seguida, é bom enfatizar que as explicações contidas na seção “Conceitos e Controvérsias” visam ilustrar, esclarecer e orientar o professor de Matemática, para que, conhecendo melhor a matéria que ensina, possa desempenhar sua missão  com a tranqüila confiança de quem sabe sobre o  que está falando. Tais explicações não são oferecidas como propostas didáticas. Isto nos parecia  óbvio mas parece que nem todas entenderam  assim.

Vamos, agora responder brevemente às cartas:

1.Pedro Paulo: É natural que um fato algébrico tenha uma demonstração algébrica; quanto ao cansaço, trata-se certamente de um sensação  pessoal. Seu argumento geométrico é bem interessante. Só que ele só pode ser apresentado a alunos que, pela série em que estão, já aprenderam a regra dos sinais. Além disso, para provar que aquele ponto lá tem mesmo abscissa igual a (-a)(-b), você vai ter que usar a dita regra...

2.       Léo Santos: Sua sugestão é muito boa. Pode ser utilizada como êxito. Inclusive porque contribui para que os alunos entendam melhor o uso de números negativos em problemas concretos.

3.       Marcelo Lellis: Imagino que o Prof. Bloch  começava  sua explanação justificando por que  (-)(+) = (-).  Isto pode ser feito da mesma  maneira como você  fez para  chegar a (-)(-) =  (+). Não sei se você notou que seu argumento usa implicitamente a lei distributiva. Neste sentido. Parece-nos que a sugestão seguinte é mais convincente.

4.       Fred Gusmão dos Santos: Muito boa a sua apresentação. Aliás, não poderíamos deixar de elogiá-la, já que ela constitui uma reformulação, em termos numéricos, do argumento usado na demonstração  dada em “Conceitos e Controvérsias” nº1.

Para finalizar, gostaríamos de recomendar a todos aquelas genuinamente interessados em aperfeiçoar suas técnicas de ensino, a leitura do livro “Aplicações da Teoria de Piaget ao Ensino  da matemática”, de autoria do Professor Luiz Alberto dos Santos Brasil. (Editora Forense-Universitária, Rio de Janeiro,. 1977).  Nas páginas 161 e 162, desse livro, o leitor encontrará exemplos de problemas concretos que motivam a regra dos sinais.

Elon Lages Lima
 

A professora Enilde Aparecida Ferro, de Nova Esperança, PR, escreve à RPM. Apresentando entre outras, a seguinte pergunta: “Como explicar a alunos de 5^a. série, com dificuldades de aprendizagem”, a regra para a “divisão de números racionais  escritos na forma de fração”.

1^a. Proposta

Para chegar à regra prática da divisão de duas  “frações” devemos fazê-lo, observando diferentes situações práticas.

litro  estão  contidas em 1 litro?

fica claro  numa representação gráfica.

 (n ¹ 0).

2^a. situação: (Dividir  um número  natural por uma fração cujo numerador seja 1).

Graficamente:

ou seja:

que o denominador de uma fração não pode ser zero)!

3^a. situação: (Dividir 1 por uma fração qualquer).

 4^a. situação: (Dividir um número natural por uma fração qualquer).

5^a. Situação (Vamos dividir agora uma fração por outra fração).

Observando a representação gráfica, vemos que estamos perguntando:

Podemos, então, dizer que

  De um modo geral, para dividir frações, multiplicamos o dividendo pelo inverso do divisor.

(Lembre-se que o denominador de uma fração nunca pode ser zero).

2ª Proposta

Assim, para dividir duas frações que têm o mesmo denominador, dividimos o numerador da primeira pelo numerador da segunda.

isto é,

Portanto, também desse modo, podemos chegar à conclusão que: para dividir frações, multiplicamos o dividendo pelo inverso do divisor.

,

onde b ¹ 0 e c ¹ 0 e d ¹ 0.

Manhucia P. Liberman
Colégio I. Peretz

___________
N. da R.: Embora esta seja uma ilustração para todos os casos, talvez somente as 2 primeiras situações da 1ª proposta sejam acessíveis às crianças, na idade em que esse problema é tratado.

Um outro colega sugere que, daí para a frente, desde que o estudante já tenha domínio da