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13.
Uma calculadora cientifica com diversos circuitos danificados só
está fazendo adições, subtrações, multiplicações e divisões, e
calculando as funções trigonométricas seno e coseno, diretas e
inversas. Como podemos obter a raiz quadrada de um número
X( 14. A executa um trabalho em “m” vezes mais tempo que B e C juntos,
B executa o mesmo trabalho em “n” vezes mais tempo que A e C juntos.
Quantas vezes mais tempo é
necessário para C executar o trabalho do que A e B juntos? 15.
Determine, sem usar tabela ou máquina de calcular, quanto vale o
ângulo agudo X, se 16.
Resolva o sistema de equações 17.
Inscrevemos um triângulo ABC no circulo unitário. Seja K o centro
do círculo. Prove que se KA.KB.KC = 1, então o triangulo é eqüilátero!
(Olimpíada húngara, 1982).
1.
Na figura uma cereja está em um copo formado por 4 fósforos. Mude
a posição de 2 dos fósforos de modo que você ainda tenha o mesmo copo
(talvez em posição diferente), mas a cereja fora do copo.
2.
Reconstrua a divisão. Cada “ 3.
Se 5 gatos pegam 5
ratos em 5 minutos, 100 gatos pegam 100 ratos em quantos minutos? 4. Um senhor de idade deixou o seguinte testamento: “Deixou 1/3 da minha fortuna para minha única filha e o restante para a criança que ela está esperando, se for homem; deixo ½ da minha fortuna para minha única filha e o restante para a criança que ela está esperando, se for mulher.” Após sua morte nascem gêmeos: um casal. Como deve ser dividida a fortuna?
(Ver
respostas na
seção "Livros")
9. Três amigos, André, Brás e Célio disputaram um torneio de xadrez, jogando o mesmo número de partidas entre si. Ao final da competição, fizeram as seguintes declarações: André: “Venci o maior número de
partidas” Brás: “Perdi o menor número de
partidas” Célio: “Ganhei o maior número de
pontos” É possível que os três tenham falado a verdade? (Cada jogador ganha 0 pontos quando perde, 0,5 pontos quando empata, e 1 ponto quando vence uma partida.) (Extraído do Jornal de Matemática do Ensino Médio, Hungria) Solução (Resumo) Sim, é possível, basta exibir um quadro do torneio, mostrando a verdade das três afirmações, como fazem os solucionadores JOSÉ HERNANDES & DIÓGENES CORREIA BASSO, São José do Rio Preto – SP. “Vamos supor que no torneio de
xadrez disputado pelos três amigos A(ndré) B(rás) C(élio), cada um
jogou 14 partidas, sendo 7 como cada um dos seus amigos e ocorreu o
seguinte:
Assim: Brás: menor número
de derrotas (2) Célio: Maior número
de pontos (7,5) Observação:
Os leitores Nilo Sá Silva The (Recife-PE), Luis Antonio Ponce Alonso (Santos-SP), Joy Ramos Marin (São Paulo-SP), Rubens Fernando C. Romeiro (Pindamonhangaba-SP) resolveram o problema exibindo sistemas de desigualdades, que infelizmente não podemos publicar, por serem bastante extensas e nos falta espaço. O Professor Rubens Fernando C.
Romeiro provou ainda que o menor número de rodadas necessárias para
acontecer o evento é 7, pois com menos rodadas é impossível que as três
afirmações sejam verdadeiras simultaneamente.
10.
Sejam dadas as
coordenadas dos pontos não alinhados B
= (x2, y2), C
= (x3, y3) Prove que as coordenadas do centro do círculo inscrito no triângulo ABC são dadas pelas expressões:
onde a, b, c são os comprimentos dos lados do triângulo, opostos aos vértices, respectivamente. (Sugestão
dos Professores Wilson Massaro (Orlândia-SP) e Dermeval C. Neto
(Fortaleza-CE)). 1ª
Solução (Geométrica) As coordenadas do centro de um círculo inscrito num triângulo ABC coincidem com as coordenadas do incentro do triângulo.
Vamos então determinar o baricentro
dos pontos A e A1, A com massa a e A1 com massa b +
c. Temos: C.Q.D.
Observação:
À primeira vista, esta solução parece um pouco “artificial”, definindo I como o baricentro de A e A1, pela escolha “forçada” dos pesos. Mesmo assim é perfeitamente correta, pois fazendo as mesmas contas para B e B1 e C e C1 o resultado será o ponto comum 1. 2ª Solução (Vetorial) Pela regra do paralelogramo a
+ b em geral não é a bissetriz do ângulo, ≮
(a, b), e isto só é válido se a = b. Sejam os vetores A, B, C representando os pontos A, B, C pelas suas extremidades, então os lados a, b, c são os vetores. a = C – B
Como
onde
l
e m
são constantes reais. Então:
C.Q.D.
Observação:
Chegaram ainda soluções usando Geometria Analítica em coordenadas. Estas soluções são corretas, mas muito extensos. A segunda solução é um exemplo para a utilidade do tratamento vetorial da Geometria Analítica “neste caso”, que não deve ser tomado como uma “regra geral”! 11.
Sejam a, b, c, números reais positivos. Prove que: Solução:
(Resumo) ou
E também: de
onde Comparando (1) com (2) (propriedade transitiva) e a
+ b + c > 0,
C.Q.D. 12.
Um trem atravessa uma ponte de 171 m em 27 segundos. Determine a
velocidade e o comprimento do comboio, se o tempo de passar um pedestre
que anda em sentido contrário com a velocidade de 1 m/s é de 9 segundos.
(KVANT, Moscou) Solução:
Seja X o comprimento do trem e v a sua velocidade. Assim: e
Resolvendo: (Resumo de diversas soluções)
Obs.:
Chegaram ainda 7 soluções erradas. |
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”
representa um algarismo.
