Teresa Cristina Ochoviet
Montevidéu, Uruguai

Certa vez, uma professora me propôs o seguinte problema: Encontrar um divisor comum e diferente de 1 dos números capicuas de quatro algarismos.

Chamamos de números capicuas àqueles que são lidos da esquerda para a direita, ou da direita para a esquerda, da mesma forma. Por exemplo, 153351, 404, . . . .  No caso, capicuas de quatro algarismos são números da forma  abba.

E bastante simples resolver o problema proposto, decompondo  abba  do seguinte modo:

abba = 10³a + 10²b + 10 b + a = (10³ + 1)a + (10² + 10)b =

= 1001 a + 110 b = 11 (91a + 10b) = ,

o que mostra que todo número capicua de quatro algarismos é um múltiplo de 11 — o que, em alguns países, é denotado por   . Temos, então, que o número   11   é o divisor procurado.

Na solução apresentada, consideramos o número capicua representado no sistema decimal (base dez), mas cabe a pergunta: existirá uma propriedade similar para os números capicuas de quatro algarismos, tomando outra base para o sistema de numeração?

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* Traduziria do esnanhol pela RPM.

Observe que a propriedade de ser capicua de quatro algarismos depende da representação do número, logo depende da base na qual está escrito. Por exemplo, 1221 é capicua de quatro algarismos no sistema decimal, mas não é capicua nem tem quatro algarismos quando escrito, por exemplo, na base dois:

1221 = 2¹⁰ + 2⁷ + 2⁶ + 2² + 2⁰ = (10011000101 )₂ .

No entanto, a propriedade de um número ser múltiplo ou divisor de outro é intrínseca ao número e não depende da sua representação.

Consideremos o problema inicial para números capicuas de quatro algarismos, quando representados na base dois: (cddc)₂. Podemos então olhar para a sua representação decimal para encontrar divisores:

(cddc)₂ = c2³ + d2² + d2¹ + c2⁰ = 9 c + 6d = 3.

Encontramos um múltiplo de 3.

Consideremos agora a base três, com o número capicua No sistema decimal, temos:

(pqqp)₃ = p3³ + q3² + q3¹ + p3⁰ = 4(7p + 3q) = 4.

Encontramos um múltiplo de 4. Observemos os resultados obtidos até agora:

(cddc)₂        é um múltiplo de        3

(pqqp)₃        é um múltiplo de        4

(abba)₁₀     é um múltiplo de        11.

Conseguem intuir a propriedade?

(xyyx)_n        é um múltiplo de      n + 1 .

Realmente somos levados a pensar que qualquer número que tenha uma representação capicua de quatro algarismos em uma base n é múltiplo de n + 1 (n IN, n > 1).

Mas há algo mais interessante. Observemos que:

(3)₁₀ = (11)₂,    (4)₁₀ = (11)₃,    (11)₁₀ = (11)₁₀,    (n + 1)₁₀ = (11)_n

ou seja, se a propriedade intuída for verdadeira, um número capicua de quatro algarismos, escrito na base n, n > 1, é sempre múltiplo de   (11)_n.   Verifiquemos, então, a propriedade:

(xyyx)_n = n³x + n²y + ny + x = (n³ + 1) x + (n² + n)y =

(n + l)(n² n + l)x + n(n + 1)y = .

Convém observar que  n² n + 1 > 0  para todo   n IN.

Podemos estender esse resultado para todo número capicua com um número par de algarismos em alguma base n. Para isso basta mostrar que o número  (a₁a₂a₃ .. .a_ka_k ... a₃a₂a₁)_n, com  a₁ IN, a₁ < n, n IN, n > 1, é um múltiplo de n + 1. O número considerado tem   2k   algarismos e é igual a:

a₁n^2k-1 + a₂n^{2k-2 . . .} + a_kn^2k-k + a_kn^{2k-k-1 . . .} + a₂n + a₁ =

= a₁(n^2k-1 + 1) + a₂(n^2k-3 + 1) + ^{. . .} + a_kn^k-1(n + 1).

Como os polinômios entre parênteses têm grau ímpar, cada parcela dessa soma é um múltiplo de n + 1. Logo a soma também é, como queríamos demonstrar.

Acreditamos que esse seja um bonito problema para trabalhar com nossos alunos (no nível adequado), já que permite relacionar temas como polinômios, fatoração e sistemas de numeração, que poucas vezes vemos conectados.