 |
|
|
|||
 |
|||||
|
|
|
|
|||
|
|
|||||
|
Zelci Clasen
de Oliveira Um dia desses, uma colega trouxe-me uma questão que havia visto num concurso. Era mais ou menos assim: Um terreno retangular de 221 m por 117m será cercado. Em toda a volta desse cercado, serão plantadas árvores igualmente espaçadas. Qual o maior espaço possível? Respondi logo: — Ora, é um problema de MDC (subentendendo que uma árvore deve ser plantada em cada canto do terreno e o espaço entre as árvores deve ter um número inteiro de metros). Calculei logo o valor pelo método das divisões sucessivas e obtive o resultado: 13 m.
A colega disse então que havia proposto o mesmo problema ao pai de um amigo, e que ele havia chegado mentalmente à resposta sem que soubesse explicar como. Na tentativa de adivinhar seu raciocínio, desenhei um retângulo e coloquei suas medidas: 221 e 117. — Quem sabe ele não pensou: 117 não divide 221. Fazendo a diferença 221 menos 117, encontramos 104. Porém, 104 não divide 117. Fazendo então a diferença 117 menos 104, encontramos 13, que divide 104 e é a resposta do problema. A figura que fiz enquanto falava, mostrava o retângulo original dividido em quadrados: um de lado 117, outro de lado 104 e mais oito quadradinhos de lado 13. Ela ficou assim:
Percebi imediatamente que ali estava o princípio das divisões sucessivas, visto através de uma imagem geométrica. Procurei então enunciar o "método" de encontrar o MDC de dois números que a figura me sugeria e, depois de algumas tentativas, o enunciado que mais me agradou foi o seguinte:
Dados dois números naturais
a e b, construímos um retângulo
com essas dimensões. Cobrindo esse retângulo com os
maiores quadrados possíveis, o lado do menor quadrado será o MDC
entre
a e b.
Simples, não? Foi gratificante encontrar uma forma de ilustrar um procedimento
aritmético usando áreas, mostrando mais uma vez a
importância do relacionamento de assuntos diversos da Matemática
elementar.
Dias depois do que acabo de relatar, lendo a História
da Matemática, de Carl Boyer, encontro, na página 84, uma referência ao
livro dos Elementos de Euclides, que contém, essencialmente, o "método" que
imaginei. Diz o seguinte:
Dados dois números diferentes, subtrai-se o menor a
do maior b
repetidamente até que se obtenha um resto r1
menor do que o menor número; então subtrai-se repetidamente esse resto r1
de a até resultar um resto r2
menor do que r1
então subtrai-se repetidamente r2
de r1
e assim por diante, finalmente, o processo leva a um resto rn
que mede (2)
rn-1
portanto todos os restos precedentes, bem como a e b; esse número
rn
será o máximo divisor comum de a
e b.
Apesar do "achado", considero ainda importante a maneira de
abordar a questão através da visualização geométrica, proporcionando
a professores e alunos uma interessante alternativa de tratar o
assunto.
NOTAS da RPM
(1)
Em Matemática, como não é possível conhecer tudo o que já foi publicado
ao longo da História, estamos freqüentemente redescobrindo coisas, ou seja.
tendo idéias que outros, no passado, já tiveram. Isso não importa. As boas
idéias devem ser divulgadas, mesmo que não sejam completamenle originais
(2)
No final
da referência ao texto de Euclides que consta do livro de Boyer,onde se lê
"... um resto
rn que mede
rn-1. . . ", o leitor deve
entender
". . . um resto rn que divide rn-1. . .".
(3)
O Caderno da RPM, vol.5, n.°
1, de 1994. contém um resumo dos assuntos
tratados nos Elementos de Euclides, obra máxima da Matemática da Antiguidade, fonte de conhecimento ao longo de séculos e alicerce de todo o
desenvolvimento posterior.
Zelci Clasen de Oliveira, é bacharel em Estatística
pela Universidade Federal de São Carlos e licenciado em Ciências pela
Instituição Moura Lacerda de Ribeirão
Preto. Leciona Matemática para alunos do 2.°
grau no Colégio Oswaldo Cruz de Ribeirão
Preto e Franca, SP.
|
Para que todos entendam
bem esse enunciado, vou
dar mais um exemplo. Observe,
na figura ao lado, o retângulo
de dimensões 55
e 15. Vamos cobrir esse
retângulo com os maiores
quadrados possíveis. São