No mês de setembro, foi realizada simultaneamente, em diversas cidades brasileiras, a Olimpíada Júnior, dedicada aos alunos mais jovens. Até o ano passado, participavam dessa competição apenas os alunos que estavam cursando o l.° grau Em 1995, por uma mudança do regulamento, puderam participar alunos de até 15 anos, independentemente do ano escolar A prova foi considerada difícil pela maioria dos professores, mas o resultado surpreendeu. Jovens talentosos apareceram, com excelente desempenho, principalmente em São Paulo e nos estados do Nordeste. Os alunos premiados com medalhas foram os seguintes:

Ouro:   Carlos Yuzo Shine, SP, Murali Srinivasamn Vajapeyam, PB; Rui Lopes Viana Filho, SP.

Prata:    Emanuel Augusto de Souza Carneiro, CE; Fabrício Shigueru Catae, SP; Francisco Petrúcio Cavalcante Júnior, AL; Marcelo Cruz de Souza, CE.

Bronze: Andressa de Mello, SP; Carlos Eduardo Fonteles de Queiroz, CE; Fernando Castro de Mesquita, CE; Francisco Aníbal Costa Sousa, CE; Gustavo Militão Pontes, CE; Hermano Henry Morais Oliveira, CE; Maurício Pereira Carrari, SP; Rodrigo Otávio de Holanda Curchatuz, CE.

Além desses, mais 9 alunos receberam menções honrosas por apresentarem soluções perfeitas de algum dos problemas propostos.

Todos os classificados passarão, a partir de janeiro, a receber treinamento por correspondência e serão auxiliados em seu desenvolvimento pelos coordenadores regionais de Olimpíadas. No mes, de maio de 96, esses alunos farão ainda urna prova para a definição da equipe que representará o Brasil na 7.ª Olimpíada de Matemática do Cone Sul, que será realizada em junho, no Peru.

Foi realizada, em setembro, em Viña del Mar, Chile, com a presença de 18 países. Esse evento, promovido pela OEI (Organização dos Estados Ibero-americanos para Ciência e Cultura) e patrocinado pelo Ministério da Educação do Chile, teve excelente organização. O local aprazível, a hospitalidade dos chilenos, o clima de cordialidade e, sobretudo, o tratamento aos alunos foram pontos de destaque que reconhecidamente agradecemos.

Após as provas e antes da cerimônia de encerramento, todos os participantes fizeram um passeio de ônibus pelo interior do país. Em pouco tempo, atravessando o país e subindo a cordilheira dos Andes, chegamos em Portillo, a 3000 metros de altitude. Nesse lugar, que de tão belo só imaginava existir em cartões-postais, todos os participantes passaram horas felizes, brincando com a neve, impressionados com a majestade da Cordilheira, num clima de união que propiciou o início de amizades entre jovens de países muito diferentes Alunos, que têm em comum o gosto pela Matemática e que jamais teriam se conhecido se não tivessem ingressado nos programas de Olimpíadas de seus países. Esses alunos são admiráveis pelo esforço e dedicação ao estudo, valores que nós, professores, não podemos esquecer de incentivar.

Mas, quais foram os resultados da Olimpíada?

Nós fomos bem. Na classificação individual, o primeiro lugar foi de um brasileiro, o carioca Artur Avila Cordeiro de Melo Na soma de pontos por países, ficamos em terceiro lugar, perdendo para a Argentina e para a Colômbia. De qualquer forma, nossos quatro alunos receberam medalhas e estão de parabéns. Nossos alunos premiados com medalhas foram os seguintes:

Ouro: Artur Avila Cordeiro de Melo, RJ. Prata: André Luiz de Souza. Neves, SP. Bronze: Fernando Antonio de Araújo Carneiro, RJ, e André Reys Leal, SP.

A seleção dos alunos que participam de uma Olimpíada Internacional é feita da seguinte forma: no mês de outubro de cada ano, realizamos a Olimpíada Brasileira Sênior, que é uma difícil competição dedicada a alunos de qualquer série do 2.° grau. Os alunos premiados (com medalha ou menção honrosa) passam a receber treinamento por correspondência e são auxiliados pelos coordenadores regionais de Olimpíadas no seu estudo. No mês de maio do ano seguinte, é feita uma prova final e todos os resultados são reunidos: valem pontos os prêmios obtidos em Olimpíadas anteriores, o desempenho no treinamento e o resultado da prova final. Com isso, é feito um ranking dos alunos de cada ano e os primeiros são convidados a participar das competições internacionais.

A próxima Olimpíada Ibero-americana de Matemática será realizada em setembro de 96, em Costa Rica.

2.ª fase- 23/9/1995

(Duração da prova: 4 horas. E proibido o uso de calculadoras ou régua de cálculo.)

1)  O campeonato de futebol da Terra Brasilis de 1995 foi disputado por 6 equipes. Cada um dos clubes disputou exatamente uma partida com cada um dos outros cinco. Cada vitória valeu 3 pontos, empate 1 ponto e 0 ponto em caso de derrota.

2)  João possui um tabuleiro   n  por  n   e uma grande quantidade de peças do formato abaixo, formadas por quadrados   l x l.  Sua intenção épreencher o tabuleiro, sem deixar falhas, usando as peças.

(i) Prove que, se n for múltiplo de 6, então João sempre poderá realizar seu intento.

(ii) Prove que, se n não for múltiplo de 6, João não poderá realizar seu intento.

3)  (i) Prove que é possível escrever 1995 como soma de 497 inteiros positivos compostos, mas não é possível escrevê-lo como soma de mais de 497 inteiros positivos compostos.

(ii)   Para   n IN,   seja   f(n)   o maior inteiro tal que é possível escrever   n  como soma de   f(n)   inteiros positivos compostos. Prove que

    f(1) = f(3) = f(6) = f(11) = 0;

     f(n) = [n/4]   se   n   for par e diferente de 6;

      f(n) = [n/4] 1   se   n   for ímpar e diferente de   1, 3 e 11.
(Obs.:   [x]  é o maior inteiro x.   Por exemplo,  [2,9] =2; [] = 3.)

 4)    ABCD é um quadrilátero convexo;   M e N  são os pontos médios dos lados AB e CD.   Prove que, se o segmento MN divide o quadrilátero em dois de mesma área, então   ABCD  é um trapézio.

5)    Temos um tabuleiro 1995 x 1995. A cada uma de suas  1995²  casas associamos um dos números  +1 ou 1. Em seguida, associamos a cada linha o produto dos números das casas desta linha, e a cada coluna o produto dos números das casas desta coluna.

(i)  Se   T   é a soma dos números associados às linhas, colunas e escritos nas casas, prove que   T  é diferente de 0.

(ii)  Se   S   é a soma dos números associados às linhas e às colunas, prove que   S  é diferente de 0.