126.  No Liceu de Itapipoca existe uma sala onde 1994 cadeiras, numeradas consecutivamente de 1 a 1994, estão dispostas em círculo. Num determinado dia, 1994 estudantes, sentados um em cada cadeira, resolvem começar o seguinte jogo: o estudante sentado na cadeira 1 diz "sim" e permanece no jogo. 0 estudante sentado na cadeira 2 diz  "não" e sai do jogo, e assim sucessivamente, isto é, cada estudante contradizendo o anterior. Aquele que diz "sim" permanece no jogo e aquele que diz "não" sai do jogo.   O jogo termina quando resta um só estudante. Determine o número da cadeira na qual ele está sentado.
(Olimpíada Estadual de Matemátira do Rio de Janeiro, 1994)

127.  Na base   AC   de um triângulo isósceles    ABC    toma-se    um ponto   M   qualquer.  Sejam   a e b,    respectivamente, os comprimentos dos segmentos   AM e MC.   Considere as circunferências inscritas nos triângulos ABM  e  CBM.

Determine, em função de  a e b,   a distância entre os pontos de tangencia dessas circunferências com o lado   BM.
(Proposto por Jésus Alfonso Sánchez, Campinas. SP.)

128.   Seja P um ponto qualquer no interior de um triângulo equilátero ABC. A partir de   P construímos as perpendiculares   PD,  PE e PF   aos lados    BC,  AC e AB, respectivamente.   Determine (PD + PE+ PF)/(BD + CE + AF).
(Proposto por André Fernando de Seixas Godoi, São Paulo, SP.)

129.  O sorteio do jogo da Super Sena consiste na escolha de seis dezenas distintas escolhidas no conjunto S= {01, 02,..., 48}.   Para realizar o sorteio, a Caixa Econômica Federal utiliza duas esferas idênticas contendo bolas numeradas. A primeira esfera (da qual será extraído o algarismo das unidades) contém 10 bolas numeradas de   0 a 9.    A segunda (da qual será extraído o algarismo das dezenas) contém cinco bolas numeradas de   0 a 4.    O sorteio das dezenas premiadas consiste de seis etapas consecutivas e independentes, em cada uma das quais são extraídas duas bolas, uma de cada uma das duas urnas.  A etapa será repetida se ocorrer qualquer uma das duas situações abaixo:

1)        Forem sorteadas as dezenas 00 ou 49.

2)     For sorteada uma dezena que já saiu em alguma etapa anterior.

Determine:

a)     A probabilidade de que num sorteio não sejam necessárias repetições.

b)     A probabilidade de que a quarta etapa precise ser repetida.

c)     Sabendo que num sorteio completo apenas uma etapa precisou ser repetida uma única vez, qual é a probabilidade condicional de que tenha sido a terceira?

1.   Como é possível retirar do mar exatamente 6 litros de água tendo apenas dois recipientes, um de 4 e outro de 9 litros?
(Enviado por Valdinéia Barbosa Nascimento, Campina Grande, PB.)

2.   Oito bolinhas de gude têm o mesmo tamanho e cor. Sete delas têm o mesmo peso e a restante é mais pesada que as demais. Usando uma balança de dois pratos, como encontrar a bolinha mais pesada, efetuando duas pesagens?
(Enviado por Valdinéia Barbosa Nascimento, Campina Grande, PB )

3 Gastei tudo que tinha em 4 lojas. Em cada uma delas gastei um real a mais do que a metade do que tinha ao entrar nela. Quanto dinheiro eu tinha inicialmente?

(Ver respostas na.seção "O que vai por aí")

118.   Na figura abaixo os triângulos ABC e BDE são retângulos e isósceles. Os pontos M, N, P e Q são respectivamente os pontos médios dos segmentos AC, AD, DE e EC. Prove que o quadrilátero MNPQ é um quadrado.

Solução:

Como M, N, P e Q são, respectivamente, os pontos médios de AC, AD, DE e EC,  temos:

Como os triângulos dados são isósceles e retângulos, temos, pelo caso LAL, que os triângulos ABE e BCD são congruentes, com  AE = CD.   Logo,  MQ = NP= MN = PQ.

Por outro lado, como + = /2 (ver figura), temos = /2. Concluímos que   MNPQ  é um quadrado .

Cláudio Arconcher, que propôs o problema, nos informou que ele apareceu resolvido na Revista Quantum, 1944 - nov./dez., e que é um caso particular do problema: Toda curva simples e fechada do plano contém os 4 vértices de algum quadrado. Para linhas poligonais simples e fechadas, o problema está provado no livro Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory, uma publicação da The Mathematical Association of America.

119.  Na figura,   AB₁, AB₂ , AB₃ , . . . ,AB_n ,  . . .   crescem em progressão aritmética. Mostre que    B₁ B₂ > B₂B₃ > . . . > B_n B_n+1 > . . . .

Solução:

Seja    r    a razão da progressão  aritmética e façamos AB₁ = a.

1)   Constrói-se o paralelogramo   AB₁A₁B₃.   Temos:

Conclusão: O ponto médio de AA₁ (B₁B₃) está entre B₁ e B₂   e, portanto,

B₁ B₂ > B₃ B₄.

2) Constrói-se o paralelogra mo   AB₂A₂B₄.   Temos:

Conclusão: O ponto médio de AA₂ (B₂B₄) está entre B₂ e B₃  e, portanto,  B₂B₃ > B₃B₄.

3)   Em geral, para cada n > 2, constrói-se o paralelogramo  AB_n-1A_n-1B_n+1. Temos:

Conclusão:   O ponto médio de   AA_n-1   (B_n-1B_n+1)  está   entre   B_n-1 e B_n   e,   portanto,   B_n-1B_n > B_nB_n+1 . Assim,

B₁B₂ > B₂B₃ >_{. . .}>B_nB_n+1 > ^{. . .} .

(Solução enviada por  F. W. Leão. Rio de Janeiro, RJ.)
 

120 Prove que todo número natural tem um múltiplo que se escreve, na base 10, apenas com os algarismos 0 e 1.

Considere o conjunto dos números naturais que, na base 10, são escritos apenas com o algarismo   1.   Em outras palavras, seja

S = {1,  11,  111,...}

Dado o natural   n,   vamos considerar os  n  primeiros elementos de  S:

O resto da divisão de qualquer um dos números acima por n é um dos elementos do conjunto {0, 1,..., n 1}. Se para algum dos números o resto for zero, o problema estará terminado, pois nesse caso existe um número formado apenas por uns que é múltiplo de n. Se nenhum deles deixar resto zero quando dividido por n, como são n números e apenas n 1 restos possíveis, existirão pelo menos dois deles que, quando divididos por n, deixam o mesmo resto. Segue-se que a diferença entre eles é um múltiplo de n, e é fácil mostrar que essa diferença é um número que se escreve apenas com zeros e uns .
(Solução enviada por Ricardo R   Ferro, Rio de Janeiro, RJ.)
 

121. Num sistema elevado de trens metropolitanos existem duas estações, A e B, entre as quais circulam trens nos dois sentidos, com velocidade constante. De 5 em 5 minutos ocorre, simultaneamente, nas duas estações, o cruzamento de dois trens. Um atleta parte da estação A, em direção a B, no instante em que nela se cruzam dois trens, e percorre uma trajetória paralela aos trilhos com velocidade constante, chegando a B num instante em que lá ocorre também o cruzamento de dois trens. Incluindo os trens que viu nas estações, o atleta vê durante o percurso 38 trens, sendo 15 no mesmo sentido e 23 no sentido contrário. Determine o tempo gasto pelos trens para percorrer a distância entre as duas estações.

Solução:

[Alguns leitores reclamaram, com razão, que o enunciado não deixava claro que as partidas e chegadas sempre ocorriam simultaneamente nas duas estações. Sem essa suposição, que está sendo admitida, o problema ficaria bem mais complicado.]

Sejam t₀ e t₁, respectivamente, os tempos gastos pelos trens e pelo atleta para percorrerem a distância entre as estações.

Vamos considerar, inicialmente, os trens que o atleta encontrou caminhando no mesmo sentido que o seu. Foram 15 no total; o primeiro saiu de A junto com ele e o 15.° chegou a B no mesrno instante que ele. Entre a saída do 1.° e a do 15.° decorreram 14 intervalos de 5 minutos cada um e, portanto, passaram 70 minutos. Segue-se que o 15.° trem saiu de A 70 minutos depois, e chegou a B junto com o atleta. Temos então:

t₁ = 70 + t₀ .

Considerando, agora, que ele encontrou 23 trens no sentido contrário ao seu, vamos observar que o 1.° (que ele encontrou no instante em que saiu de A) saiu de B t₀ minutos antes. Entre a saída do 1.° e a do 23.° (que ele encontrou quando chegou a B) decorreram 22 intervalos de   5   minutos. Temos então:

110 t₀ =  t_1.

Segue-se que:

70 + t₀ = 110 t₀,

e, portanto,  t₀   (tempo gasto pelos trens) é igual a  20  minutos , e  t₁ (tempo gasto pelo atleta) é igual a   90   minutos .

(Adaptado da solução enviada por José Hernandes, São José do Rio Preto, SP.)