De vez em quando, um ou outro leitor reclama que um determinado problema não é novo e já foi publicado em algum livro, ou utilizado num vestibular, concurso ou olimpíada. É importante deixar claro que os responsáveis por esta seção fazem uma seleção de problemas das mais diversas fontes e que eles jamais tiveram a pretensão de publicar problemas novos. Sempre que possível é mencionada a fonte que foi usada ou o nome do leitor que nos enviou o problema. Essas citações não significam que o leitor inventou o problema nem que a fonte utilizada tenha sido a primeira a divulgá-lo. Acreditamos que a maioria dos leitores concordará conosco que, a não ser em casos especiais, a tarefa de determinar de maneira inequívoca quem propôs pela primeira vez um problema de Matemática Elementar é quase tão difícil quanto saber quem contou pela primeira vez uma determinada anedota.

122. Entre todos os triângulos de lados inteiros que têm um dos ângulos igual ao quíntuplo de um outro, determine aquele que tem os menores lados possíveis.
(Enviado por Rubem Alva Cabrera, Peru)

123  Nafigura AD = BC.    Determine  .

(Proposto por Seiji Hariki e se encontra no vol. 9 de Fundamentos de Matemática Elementar, Atual Editora.)

124. São dadas duas progressões aritméticas distintas cujos termos são números inteiros positivos. Determine condições que devem ser satisfeitas para que existam termos comuns às duas progressões.

125.  Determine um polinômio   P(x),   com coeficientes inteiros, tal que  x₀ = 1 +   seja uma raiz da equação  P(x) = 0. Resolva a mesma questão para  x₁ = .

1.  Uma torneira enche um tanque em 4 horas.   O ralo do tanque pode esvaziá-lo em 3 horas.   Estando o tanque cheio, abrimos simultaneamente a torneira e o ralo. O que acontece com o tanque?
(Enviado por Nathercia C. Rodrigues, Rio de Janeiro, RJ.)

2.  É possível colocar inteiros positivos nos 21 espaços vazios na figura abaixo, de modo que os números em cada linha e em cada coluna estejam em progressão aritmética.  Determine o número assinalado com o asterisco.

(Enviado por Nathercia C. Rodrigues, Rio de Janeiro, RJ.)

3. Dividir um bolo circular em 4 partes iguais, sem tirar a faca do bolo e sem percorrer duas vezes o mesmo corte.

(Relatado, há muitos anos, por Elza Babá Akama., São Paulo, SP.)
 

(Ver respostas no final desta seção)

114.  Mostre que qualquer número inteiro é a soma de 5 cubos.
Solução:

Vamos considerar inicialmente a seguinte identidade:

(a l)³ + (a + l)³ + (a)³ + (-a)³ = 6a

que mostra que todo múltiplo de 6 pode ser representado como uma soma de 4 cubos.

Observe a seguir que, para todo inteiro n, n³ n = n(n l)(n + 1) é múltiplo de 6 e, portanto,  n = n³ 6a  pode ser representado como soma de 5 cubos .

[Solução enviada por João Linneu do Amaral Prado, de Jaú, SP.]

Nota: O professor João Linneu publicou essa solução numa revista que circulava no Rio de Janeiro na década de 50.  Temos aqui um exemplo prático daquilo que dissemos no início desta seção.

115.   Suponha que as retas  mx + ny = 0  e  ax + by + c = 0  não sejam paralelas e considere a parábola  (mx + ny)² = ax + by + c.   Prove que   ax + by + c = 0 é tangente à parábola e que  mx + ny = 0 é paralela ao eixo de simetria dessa parábola. Descreva, então, um método prático para se determinar o vértice daparábola.

Solução:

As retas r : mx + ny = 0  e  s : ax + by + c = 0 encontram-se num único ponto P que pertence à parábola (mx + ny)² = ax + by + c. Como essa parábola fica inteiramente contida no semiplano dado por ax + by + c 0 e encontra a reta  s  num único ponto   P, podemos concluir que  s  é tangente à parábola em  P.

A reta r encontra a parábola no único ponto P e não pode ser reta tangente. Logo, ela é paralela ao eixo de simetria.

Podemos determinar as coordenadas do vértice da parábola considerando a reta t perpendicular a r por P, que encontra a parábola em Q. Determinamos a equação do eixo de simetria (perpendicular a t, passando pelo ponto médio M de PQ) cuja intersecção com a parábola dá o vértice   V.

[Adaptado das soluções de Geraldo Perlino Júnior, SP, e Carlos Alberto S. Victor, RJ]

116.   Dado um retângulo  ABCD,  considere  P um ponto qualquer em um de seus lados. Mostre que a soma das distâncias de  P  às duas diagonais do retângulo é constante.

Solução:

Indiquemos a área pela letra A. Temos:

A(ABO) = A(APO) + A(BPO),

Nesse caso, temos:

A(BCO) = A(BPO) + A(POC),

No caso em que P coincide com um dos vértices do retângulo:

[Adaptado das soluções enviadas por diversos leitores.]

117. n casais (marido e esposa) são agrupados, ao acaso, em grupos de duas pessoas cada um. Qual é a probabilidade de que:

(a)    Todos os grupos sejam formados por um marido e sua esposa?

(b)    Todos os grupos sejam formados por duas pessoas de sexos diferentes?

Solução:

Vamos determinar inicialmente de quantas maneiras   2n   pessoas podem ser distribuídas em n grupos de duas pessoas cada um.

e, assim, sucessivamente.  Como a ordem dos grupos não nos interessa como critério de diferenciação, segue-se que o número de maneiras de distribuir  2n pessoas em grupos de duas pessoas será dado por:

(Nota: A última igualdade sugere uma forma diferente para efetuarmos essa contagem.)

a)   Existe uma única distribuição na qual todos os casais ficam juntos.   Logo, a
probabilidade pedida é:

b)  Para contar em quantas distribuições os casais serão formados por pessoas de sexos diferentes, podemos considerar uma fila com    2n   lugares na qual os homens ficarão fixos nas posições ímpares. Qualquer uma das n!  permutações das mulheres nas posições pares satisfaz a condição do problema. Segue-se que a probabilidade pedida vale:

(Uma forma alternativa de efetuar essa contagem seria escolhermos um indivíduo qualquer e observarmos que, qualquer que seja o seu sexo, existem n escolhas que permitem a obtenção de um casal formado por pessoas de sexos diferentes. Formado esse casal, prosseguimos escolhendo outro indivíduo qualquer para o qual existirão n 1 escolhas possíveis e assim sucessivamente.)

[Adaptado das soluções enviadas por vários leitores.]