O editorial da RPM 24 conta que há interesse por parte dos colegas em artigos sobre material concreto. Lembrei-me, então, de problemas de Geometria que encontrei em literatura japonesa e que envolvem dobraduras (origami) ou dobraduras e recortes (kingami). Apresento aqui três desses problemas.

De uma folha quadrada e com um único talho, recorte um hexágono cujo lado seja igual à metade do lado da folha.

Minha solução é a seguinte:

(3) : dobrar de modo que o ponto   A   fique sobre o vinco deixado no passo (2):

(6): cortar ao longo de   DE,  abrir e... pronto!

A solução apresentada no livro japonês (Haha To Ko No, Orígamí) era outra, passando por um triângulo equilátero de lado igual ao do quadrado. Talvez nossos alunos encontrem outras ainda. O importante é que eles consigam provar que o resultado obtido satisfaz o enunciado do problema.

Na solução aqui apresentada, o triângulo ADA' tem, por cons­trução, AD = A'D e também tem coincidentes a altura e a mediana em relação ao vértice A'. Logo, o triângulo ADA' é equilátero e seu lado é igual à metade do lado do quadrado inicial. Então, o vinco deixado no passo (3) (e que servirá de linha de corte) e o lado A'D dividem o ângulo reto (em D) em três ângulos iguais, cada um de 30°, o que mostra que o polígono construído é formado por seis triângulos equiláteros de lados iguais à metade do lado do quadrado inicial.

Um quadrado ABCD de 10 cm de lado é dobrado como na figura ao lado, de forma que BP = 4 cm.

Calcule AE e EF.

Solução

Por construção,  AE = EP.   Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo  EBP, obtém-se EP = 5,8 cm,  donde AE = 5,8 cm.

Do fato de o triângulo AEP ser isósceles e de AH = HP (devido à dobradura), temos que EH é a mediana e também a altura do triângulo. Logo,  EF AP.

Traçando FG paralelo a AD, observamos que os triângulos retângulos ABP e FGE são congruentes, pois ambos têm um cateto de 10 cm e por serem ângulos de lados respectivamente perpendiculares.

Um quadrado ABCD de lado a é dobrado como na figura a seguir. Se BE = a/p e CD' = a/q, mostre que q = 2p l.

(Adaptação do teorema apresentado pelo colega José de Oliveira. Siqueira, RPM 16, p. 22.)

Da igualdade dos ângulos de lados perpendiculares, indicados por na figura acima, segue-se a semelhança dos triângulos retângulos NCD' e D'BE  e, daí, x = ap(q l) /q².

Do triângulo retângulo  NCD'   tem-se x = a(q² 1) / 2q². E da comparação das igualdades tem-se,  q = 2p 1.

Obs.: Esse problema justifica um processo de divisão, por dobraduras, do lado do quadrado em partes iguais, a partir de dobras ao meio. Com efeito, se p₁ = 2 (E é o ponto médio do lado AB), obtém-se  q₁ = 3.  Se  p₂ = 3,  obtém-se  q₂ =5. Se p₃ = 4 (duas dobras ao meio), obtém-se q₃ = 7. Se  p₄ = 5(= q₂),  obtém-se  q₄ = 9.  Se  p₅ = 6  (q₁ = 3, dobrado ao meio), obtém-se q₅ = 11. E assim por diante, embora não se possa ir muito longe, pois não faz sentido considerar números muito grandes no problema prático das dobraduras.

NR.   A RPM lamenta não poder reproduzir os modelos em papel dourado que o autor usou para ilustrar o manuscrito deste artigo.