| Diferenças entre
Potências |
Enviado por
Nielce M. Lobo da Costa
São Paulo, SP |
Sou
professora do Colégio Dante
Alighieri, de São Paulo, SP, e, entusiasmada com a seção Dos nossos alunos,
resolvi remeter o trabalho da minha aluna KAREN STRAUSS, do 2.°
ano do 2.°
grau (em 1994). A aluna tem 15 anos, não consultou nenhuma bibliografia e esteve
trabalhando com o assunto desde que estava na 5.ª
série. Relatou
que, após ter
estudado o Binômio
de Nev/ton, conseguiu chegar às conclusões que apresenta.
Considere
a seqüência
dos quadrados dos números inteiros não negativos
0, 1, 4,
9, 16, 25, ...
Se
construirmos a seqüência
das diferenças entre termos consecutivos da seqüência
acima, vamos obter:
1, 3, 5,
7, 9, ...
que é uma
progressão aritmética de razão 2 e primeiro termo 1.
Observando a seguir a seqüência
dos cubos dos números inteiros não negativos:
1, 8, 27,
64, 125, 216, ...
vemos que
a seqüência
das diferenças entre termos consecutivos é:
1, 7, 19,
37, 61, 91, ...
Repetindo a operação com essa seqüência,
obtemos:
6, 12,
18, 24, 30, ...
que é uma
progressão aritmética de razão 6 e primeiro termo 6. De um modo geral, se
partirmos da seqüência:
0 1
1n 3n 4n
e
efetuarmos n
 1 vezes a
operação que consiste na construção de seqüências
de diferenças de termos consecutivos, chegaremos a uma progressão aritmética. Se
os termos dessa progressão forem divididos pelo m.d.c. entre a razão e o
primeiro termo, obteremos uma progressão aritmética
-
de
razão 2, e primeiro termo n
1, se
n
for par,
-
de
razão 1, e primeiro termo (n
l)/2, se n
for
ímpar.
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NR: O comitê
editorial da RPM ficou agradavelmente impressionado com o trabalho
da estudante Karín
Strauss. Os resultados apresentados revelam uma
intuição e uma capacidade de observação notáveis.
O principal resultado
apresentado pela estudante, traduzido numa linguagem mais técnica, é que a
sequência 0, 1, 2n, 3n, .
. . é uma P.A. de ordem
n, para todo n > 1 (para uma definição de P.A. de ordem 2,
veja RPM 14, p. 60, probl. 68).
Esse resultado pode ser
demonstrado por indução, utilizando algumas propriedades simples de
progressões aritméticas de ordem superior.
Partindo dos n
+ 1 primeiros termos e
efetuando n
1 vezes o processo de construção das seqüências
das diferenças entre termos consecutivos, obteremos dois números. O menor
deles pode ser pensado como o primeiro termo da P.A. associada à P.A. de
ordem n e a diferença entre eles será a razão dessa P.A.
Pode-se demonstrar, mas não é
de modo algum trivial, que a razão é igual a n! e que o
"primeiro termo" é (n - 1) .
n! / 2.
Segue-se portanto que, se
n for ímpar, todos os termos da P.A. podem ser divididos por n!,
resultando numa P.A. de razão 1. Se n for par, divide-se por
n! / 2
e resulta uma P.A. de razão 2. |
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