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Eduardo Wagner Muitos professores já tiveram ocasião de ouvir de algum aluno curioso uma pergunta do tipo: Qual é maior: 99100 ou 10099? A resposta é simples se o aluno conhece logaritmos e se o professor tem à mão uma máquina de calcular científica. Por exemplo, calculando os logaritmos decimais dos dois números, temos:
log 99100 = 100
.
log 99
log 10099 = 99 . log 100 = 198. Como a função logaritmo (decimal) é estritamente crescente, concluímos que 99100 é maior que 10099. Entretanto, poderemos responder a inúmeras perguntas desse tipo, conhecendo o seguinte fato: TEOREMA
Se e
Vamos apresentar uma demonstração simples desse curioso resultado. Conhecemos o gráfico da função y = ln x; (logaritmo natural de x). Sabemos que a derivada da função y = ln x é y' = l / x (x > 0) e com isso podemos obter a equação da reta tangente ao gráfico da função logaritmo no ponto (e, l).
A inclinação (coeficiente angular) dessa tangente
é
l
/
e;
portanto,
sua
equação
é da
forma
A reta tangente ao gráfico de y = ln x no ponto (e, 1) passa pela origem.
Consideremos agora dois reais
a e
b
tais que e
Seja r a reta que contém a origem e o ponto (a, ln a) e seja s a reta que contém a origem e o ponto (b, lnb), como mostra o desenho acima. Ocorre que a inclinação de r é maior do que a inclinação de s *. Portanto,
Com esse interessante resultado concluímos que 99100 > 10099 sem máquina e sem logaritmos e também a famosa desigualdade:
COROLÁRIO
Se 0 < a < b
A demonstração do corolário pode ser feita da mesma forma. Observe que, se P = (x, y) percorre o gráfico da função y = lnx, a inclinação da reta OP é crescente no intervalo 0 < x < e e decrescente quando x > e. Entretanto, se a < e < b, não temos uma forma elementar para comparar os números ab e ba. Surge então uma outra pergunta: quais são os pares de reais positivos (a, b) tais que ab = ba? É claro que, se a = b, temos ab = ba. Mas temos, por exemplo, 24 = 42. Como poderemos então determinar os pares (a, b) com essa propriedade? Observe que toda reta que contém a origem e tem inclinação positiva e menor que l / e corta o gráfico de y = lnx em dois pontos distintos.** Observando o desenho a seguir, vemos que, se a > e, então a reta que contém a origem e o ponto (a, In a) corta o gráfico de y = lnx em um ponto (x,lnx) com 1 < x < e. Temos, nesse caso,
Da mesma forma, percebemos que, para todo a tal que 1 < a < e, existe um número x > e tal que ax = xa. Então, dado um número real a > 1, como se resolve a equação ax=xa? E claro que x = a é uma solução dessa equação. E a solução óbvia. Mas sabemos que existe outra. Vamos mostrar como se pode encontrar uma aproximação para a outra solução no exemplo seguinte. EXEMPLO: Resolver a equação 5x = x5. A solução natural é x = 5. Mas sabemos que existe outra no intervalo 1 < x < e. Não existe uma fórmula, para exibir essa outra solução. Só poderemos conhecê-la através de aproximações. Vamos então criar uma sequência x0, x1, x2,... que se aproxime indefinidamente da solução da nossa equação. Escrevendo a equação x5 = 5x na forma x = (5x )0,2 poderemos partir, por exemplo, de x0 = 2 e construir a seqüência seguinte:
No desenho a seguir, construímos os gráficos das funções y = x5 y = 5x para mostrar como "funciona" essa sequência.
Partindo de x0 = 2, calculamos
e assim por diante. Essa sequência, como mostra o desenho anterior, é decrescente e converge para a solução da nossa equação. A melhor aproximação dada por uma calculadora científica comum ocorre quando encontramos xn+1 = xn no visor. Utilizando uma de 10 dígitos, encontramos como solução da equação 5x = x5 o valor x = 1,764921915.
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199,56 
a <
b, então ab > ba
.
