O colega Max Denis de L. Santos escreve-nos de Maceió, AL, pedindo uma justificativa para o chamado processo russo da multiplicação. Esse processo está descrito na RPM 8, à página 43, onde a prova ficou por conta do leitor e consiste em escrever os 2 fatores na mesma linha. Na linha seguinte, divide-se o primeiro fator por 2 (é melhor tomar o menor deles como primeiro fator e trata-se aqui da divisão euclidiana, isto é, o quociente é sempre inteiro) e multiplica-se o segundo fator por 2. Prossegue-se nas linhas subsequentes, sempre dividindo o número da esquerda por 2 e multiplicando o número da direita por 2, até que se chegue a 1 na coluna da esquerda (daí a vantagem de tomar como primeiro fator o menor deles).

E, de fato,  28 x 142 857 = 3 999996.

RPM. Para entender esse processo vale a pena começar por compreender o que significa a primeira das colunas, em que o número vai sendo sempre dividido por 2, com quociente inteiro e, portanto, resto 0 ou 1.

No caso do  28, pode-se escrever aquela coluna da seguinte forma:

28 = 2 x 14 = 2² x 7 = 2² (2 x 3 + 1) = 2³ x 3 + 2² = 2³ (2 x 1 +1) + 2² = 2⁴ + 2³ + 2².

Ou seja:  essa divisão sucessiva por 2 nos permite escrever o primeiro fator como soma de potências de 2.

Um determinado expoente aparece ou não se, na divisão seguinte, o resto for 1, ou seja, se o quociente obtido na linha correspondente for ímpar.

A multiplicação desse número por outro pode então ser substituída por uma soma em que cada parcela é o produto deste outro número pela correspondente potência de 2.
 

28 x 142857 = (2⁴+2³ + 2²) x 142857 =                               

                         = 2⁴ x 142 857 + 2³ x 142 857 + 2² x 142 857 =

                          = 571428 + 1142 856 + 2 285 712 = 3 999 996 .

A prova no caso geral segue esse mesmo esquema, em que se começa por mostrar que a divisão (euclidiana) sucessiva de um número por 2 corresponde a escrever esse número na forma:

A = a_n2ⁿ + a_n-12^n-1 + a_n-22^n-2 + ^{. . .} + a₂2² + a₁ 2 + a₀ ,

em que os coeficientes a₁ são 0 ou 1 e só são 1 se o quociente obtido na i-ésima divisão for ímpar.

- Escrevem-nos os "amigos da RPM" Marcelo Ávila, de Salvador, BA, e Simone Torres Lourenço, de Serra, ES. Marcelo sugere que a Revista publique artigos de autores de países da América Latina ou de língua portuguesa, criando um intercâmbio com esses países que nos são próximos geograficamente ou através da língua. E Simone sugere que a RPM publique com mais freqüência artigos de História da Matemática, sobre jogos e sobre a relação da Matemática com outras disciplinas.

RPM. A primeira carta é de 8 de junho, e, portanto, a RPM 27, com o artigo do colega português, José Orlando Gomes Freitas, de Funchal, Portugal, ainda não havia sido distribuída. Numa próxima RPM publicaremos um artigo da colega Teresa Cristina Ochoviet, de Montevidéu, Uruguai. A Sociedad de Matemática de Chile está publicando a Revista del Profesor de Matemáticas, com a qual pretendemos manter intercâmbio. Estamos planejando traduzir artigos, que interessem ao nosso leitor, de qualquer outra revista que nos dê autorização para tal. Sua sugestão veio mesmo a calhar! Quanto aos temas sugeridos na segunda carta, passamos a idéia aos nossos autores.

Escreve-nos o colega e colaborador da RPM Hideo Kumayama, de São Bernardo do Campo, SP, contando que encontrou no livro italiano de Italo Ghersei, Matemática Dilettevole e Curiosa (Ulrico Hoepli Editore Sp.A. (1986), Milano, Itália), um cubo mágico que consiste no seguinte: com 64 cubinhos numerados de 1 a 64, montar um cubo com 4 vezes a aresta desses cubinhos, de modo que a soma dos números de cada coluna e de cada uma das 4 diagonais do cubo seja 130.   Serão 6 x 8 + 4 = 52   somas iguais a 130. Conta o colega que para obter esse cubo basta construir um quadrado mágico 8 x 8, como segue:

e empilhá-los como na segunda figura. Agora é só fazer as 52 somas...

De Porto Alegre, RS, escreve-nos ingressando no Grupo Amigos da RPM a aluna do curso de Licenciatura em Matemática Renata Miguel Ehlers, satisfeita com o curso que está fazendo e com o conteúdo apresentado pela Revista.

RPM. São muitos os estudantes de Licenciatura que acompanham a RPM e temos notícias de cursos que utilizam artigos da Revista. São esses nossos futuros colegas que em breve estarão formando as equipes que levarão adiante a obra que nos começamos!