Um leitor de Três Corações, MG, pede a solução do seguinte problema:

Um pai tem hoje 54 anos e seus quatro filhos têm, juntos, 39 anos. Daqui a quantos anos a idade do pai será igual à soma das idades de seus quatro filhos?

RPM: Daqui a n anos a idade do pai será  54 + n.  Por outro lado, cada filho terá n anos a mais; portanto, a soma das idades dos quatro filhos será  39 + 4n.  O problema pede  n  tal que  54 + n = 39 + 4n.   Isto é,  n = 5.

Um leitor de Santa Bárbara D'Oeste, SP, nos envia o seguinte problema:

Dado o desenho ao lado, construir, graficamente, uma outra circunferência que tangencie os lados do retângulo e a circunferência dada.

RPM: 0 problema levanta algumas questões já no seu enunciado.

Se a circunferência a ser construída deve tangenciar a circunferência dada e três lados do retângulo, o problema só terá solução se  a = 2b = 4R.

Se a circunferência a ser construída deve tangenciar externamente a circunferência dada e dois lados adjacentes do retânguo, temos as seguintes possibilidades:

Primeira possibilidade (supondo   a 4R):

As duas soluções acima são simétricas, bastando, portanto, encontrar uma delas Para fazer a construção gráfica, tentemos obter algebricamente o valor de   r.   No triângulo retângulo OBO' da figura, temos:    OB = R r,    OO' = R + r e O'B = CD = a (r + R).   Aplicando o teorema de Pitágoras:

Determinado o valor de   r   algebricamente, observamos que a sua construção gráfica depende da construção de  . Lembramos que    é a média geométrica entre   a e R   e pode ser representada como a altura   h,   relativa à hipotenusa, de um triângulo retângulo, cujos catetos se projetam sobre a hipotenusa determinando segmentos de medidas a e R.  Assim, construindo o triângulo retângulo de hipotenusa  a + R,   temos   h² = aR   e, portanto,   h = .

(V. RPM 6, p. 44 ou RPM 8, p.  16.)   

Segunda possibilidade:

Essas soluções também são simétricas e, aplicando um raciocínio análogo ao anterior, temos

(R r)² + (R r)² = (R + r)²    e, portanto,    r = 3R - 4 R .

Para construir   esse número, basta observar que   R   é a hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles de cateto  R.

Deixamos para o leitor a análise de outras possíveis interpretações do enunciado do problema.

Uma leitora de Santo Antonio de Pádua, RJ, enviou-nos a seguinte pergunta:

Em uma calculadora científica de 12 dígitos, quando se aperta a tecla log, aparece no visor o logaritmo decimal do número que estava no visor. Se a operação não for possível, aparece no visor a palavra ERRO. Após digitar 42 bilhões, quantas vezes se deve apertar a tecla log para que no visor apareça ERRO?

RPM: Em dois casos a palavra ERRO poderá aparecer no visor: (1) se, antes de digitar "log", o número no visor for negativo ou nulo; (2) se o logaritmo do número no visor estiver fora do domínio da calculadora.

A calculadora em questão aceita o número 42 bilhões, que tem 11 algarismos, e como o logaritmo decimal de um número é sempre menor do que o número, as sucessivas aplicações de "log" darão, inicialmente, resultados que estão no domínio da calculadora. Assim, precisamos apenas verificar quando log ^{. . .}log(42 x 10⁹) será um número negativo.

Aplicando "log" a l.ª vez, temos:

log(42 x 10⁹) = log 10⁹ + log 42 = 9 + log 42

e, como  10 < 42 < 10²,  temos  1 < log42 < 2 e

10 < log(42 x 10⁹)< 11 < IO².

Aplicando "log" a 2.ª vez, temos:

1 < loglog(42 x 10⁹) < log 10² = 2 < 10.

  Aplicando "log" a 3.ª vez, temos:

0 < logloglog(42 x 10⁹) < 1.

   Como  a = logloglog(42 x 10⁹)  é um número real entre 0 e 1, o seu logaritmo decimal será negativo, isto é, aplicando "log" pela 4.ª vez, temos log a < 0.

   Aplicando "log" a 5.ª vez, aparecerá a palavra ERRO no visor.

Um colega de Valença, RJ, enviou-nos o seguinte problema:

A população de Itapira era um quadrado perfeito. Depois, com um aumento de 100 habitantes, a população passou a ser uma unidade maior do que um quadrado perfeito. Depois, com outro aumento de 100 habitantes, a população voltou a ser um quadrado perfeito. Qual era a população original?

RPM: Observe que o conjunto universo do problema é o conjunto dos números naturais não nulos, IN*.

Se chamarmos de   P   a população original, as condições do problema podem ser descritas algebricamente por

De (2) e (3), temos

z² y² = 101    ou    (z + y)(z y) = 101.

Como z + y IN*  e   z y IN* ,  e  101  é um número primo, temos:

 z + y = 101    e    z y = 1.    Portanto,   z = 51    e   y = 50.

Donde concluímos que  P = 2401 = 49² , estando também satisfeita a equação (1).

Na RPM 27, nesta seção, um leitor perguntou qual a taxa de juros embutida na seguinte situação:

Um CD custa   R$23,00   à vista, mas pode ser pago em 3 prestações de R$10,00, uma de entrada, uma em 30 dias e outra em 60 dias.

Embora não se use, hoje em dia, juros simples em transações comerciais, a RPM, além de calcular a taxa de juros supondo que esses fossem compostos, apresentou outro cálculo, supondo que os juros fossem simples e, aí, pisou na bola.

Os colegas Armindo Cassol e Ana Maria Tagliari, da UNISINOS de São Leopoldo, RS, chamaram nossa atenção para esses fatos e ofereceram a seguinte solução no caso dos juros simples:

Se um CD custa R$23,00 e é pago em três prestações de R$10,00, temos:

1.ª parcela: R$10,00     saldo devedor: R$13,00.

Esse saldo devedor é decomposto em duas parcelas, a e b, tais que:

Daí, i = 37,39%.

RPM: Agradecemos a valiosa colaboração dos nossos atentos colegas.