Em julho estávamos mais uma vez de malas prontas para uma nova Olimpíada Internacional de Matemática. Como sempre, esperançosos e motivados para tentar superar nossas marcas anteriores. Sabíamos que essa seria uma tarefa árdua, pois iríamos competir com equipes muito bem preparadas para essa competição. Isso não significa que não estivéssemos bem preparados, significa apenas aquilo que já tivemos ocasião de abordar em artigos anteriores: temos um longo caminho a percorrer até chegarmos ao nível de organização e apoio a olimpíadas de países como a Austrália, por exemplo.

Eis a equipe de estudantes que representou o Brasil na 36.ª Olimpíada Internacional de Matemática, realizada em julho, no Canadá*:

Artur Ávila Cordeiro de Melo (RJ)                  André Reys Leal  (SP)

André Luís de Souza Neves  (SP)                     Davi Ponciano Araújo Lima  (CE)

Fernando Antonio de A. Carneiro (RJ)            Breno Alencar de A. Falcão  (CE)

O Brasil irá participar também da Olimpíada Iberoamericana de Matemática, a ser realizada no Chile, em setembro, com a equipe formada pelos quatro primeiros estudantes da lista anterior.

Por ocasião da redação deste artigo, o Brasil já havia enviado seu time para a Olimpíada do Cone Sul, realizada em junho, na Bolívia. Os estudantes participantes foram os seguintes: Artur Ávila, (RJ), Eduardo Cabral, (CE), Vítor de Almeida, (CE) e  José Aroldo, (CE).

O estudante Artur Ávila alcançou a pontuação máxima (60 pontos), obtendo medalha de ouro e dois prêmios especiais por suas resoluções. Os demais estudantes conseguiram medalhas de bronze. Por equipe, o Brasil obteve o segundo lugar, tendo a Argentina conquistado o primeiro.

Uma nova modalidade de Olimpíada de Matemática foi realizada em maio pela primeira vez. Organizada pela Federação Iberoamericana de Competições Matemáticas (sediada em Buenos Aires), contou com a participação de 10 países: Argentina, Bolívia, Brasil, Chile, Cuba, Espanha, México, Paraguai, Peru e Uruguai. Essa Olimpíada funcionou assim:

* Acabamos de saber que Artur A.C. de Melo ganhou uma medalha de ouro nessa Olimpíada e três outros estudantes da equipe receberam menção honrosa. Artur completou 16 anos, está no 2.° colegial e é, desde que o Brasil participa das olimpíadas internacionais, o 4.° brasileiro a ganhar uma medalha de ouro.

   Houve dois níveis de participação: júnior, para alunos com 13 anos no máximo (até 31/12/94), e sénior, para alunos até 15 anos no máximo (até 31/12/94).

     Cada escola convidada a participar designou um coordenador, que selecionou os estudantes que iriam competir. Não houve limitação para o número de concursantes. Nessa primeira vez, poucos colégios brasileiros participaram. Espera-se uma maior participação para 96.  As pessoas interessadas podem inscrever suas escolas escrevendo para SBM - Olimpíada de Maio (v. endereço da SBM na 1.ª contracapa).

     O coordenador definiu a data da prova, que poderia ser 12 de maio à tarde ou 13 de maio de manhã.

    Os enunciados foram devolvidos pelos candidatos, juntamente com as soluções. Uma semana mais tarde, os enunciados foram devolvidos, acompanhados das soluções oficiais.

     Cada coordenador se encarregou da correção das provas de seus alunos, segundo critérios preestabelecidos.  Os coordenadores foram autorizados a divulgar a pontuação dos seus estudantes em seus colégios.

      As três melhores provas de cada nível, corrigidas e com sua pontuação determinada, foram enviadas para a Comissão de Olimpíadas da SBM, no Rio de Janeiro.

     Uma comissão especial selecionou, para cada nível, as 10 melhores provas dos estudantes participantes de todo o país.   Esses 20 estudantes tornaram-se os representantes oficiais do Brasil na Primeira Olimpíada de Maio e suas provas foram enviadas a Buenos Aires, onde foram avaliadas junto com as dos demais países participantes.

•      Os países que obtiveram o maior número de pontos foram:

   Diplomas e medalhas foram enviados aos alunos que mais se destacaram.

   Novas instruções para essa Olimpíada serão divulgadas em janeiro de 1996.

Publicamos, em seguida, as provas aplicadas nesta primeira Olimpíada de Maio:

Duração da prova: 3 horas

Cada problema vale 10 pontos.

Não se pode usar calculadora nem consultar livros ou apontamentos.

Problema 1. A direção de uma sociedade secreta é formada por 4 pessoas. Para admitir novos sócios, usam-se os seguintes critérios:

i)     votam somente os 4 integrantes da diretoria, podendo fazê-lo de 3 modos:  a favor, contra ou abstendo-se.

ii)    Cada aspirante a sócio deve obter pelo menos 2 votos a favor e nenhum contra. Na última reunião da diretoria examinaram-se 8 pedidos de ingresso. No total de votos dados houve 23 votos a favor, 2 votos contra e 7 abstenções. Qual é o maior e qual é o menor valor que pode ter a quantidade de pedidos de ingresso aprovados nessa ocasião?

Problema 2. Júlia tem 289 moedas guardadas em caixas. Todas as caixas contêm a mesma quantidade de moedas (que é maior do que 1) e em cada caixa só há moedas de um mesmo país. As moedas da Bolívia são mais de 6% do total, as do Chile mais de 12% do total, as do México mais de 24% do total e as do Peru mais de 36% do total. Pode Júlia ter alguma moeda do Uruguai?

Problema 3. Rodolfo e Gabriela têm 9 fichas numeradas de 1 a 9 e se divertem com o seguinte jogo:

Sacam alternadamente 3 fichas cada um, com as seguintes regras:

i)    Rodolfo começa o jogo escolhendo uma ficha e nas jogadas seguintes deve sacar, a cada vez, uma ficha três unidades menor que a última ficha sacada por Gabriela.

ii)   Gabriela, em sua vez, escolhe a primeira ficha e nas vezes seguintes deve sacar, a cada vez, uma ficha duas unidades menor que a última ficha que ela mesma sacou.

iii)    Ganha o jogo quem obtiver o maior número ao somar suas três fichas.

iv)    Se o jogo não puder completar-se, há empate.

Se eles jogam sem equívocos, como deve jogar Rodolfo para estar certo de não perder?

Problema 4. Temos quatro triângulos equiláteros brancos de 3 cm de lado e os unimos por seus lados de forma a obter uma pirâmide de base triangular. Em cada aresta da pirâmide marcamos dois pontos vermelhos que a dividem em três partes iguais. Numere os pontos vermelhos de modo tal que, ao percorrê-los na ordem que esses números indicam, resulte um caminho com o menor comprimento possível. Quanto mede esse caminho?

Problema 5. Uma tartaruga caminha a 60 metros por hora e uma lagartixa o faz, a 240 metros por hora. Ambas partem no mesmo sentido do vértice A de uma pista retangular de 120 metros de comprimento e 60 metros de largura, como indica a figura.

A lagartixa tem por hábito avançar dois lados consecutivos da pista, retroceder um, voltar a avançar dois, voltar a retroceder um, e assim sucessivamente.

Quantas vezes e em que lugares se encontram a tartaruga e a lagartixa enquanto a tartaruga completa sua primeira volta?
 

Duração da prova: 3 horas

Cada problema vale 10 pontos.

Não se pode usar calculadora nem consultar livros ou apontamentos.

Problema 1. Verônica, Ana e Gabriela estão formando uma roda e se divertindo com o seguinte jogo: Uma delas escolhe um número e o diz em voz alta; a que está à sua esquerda o divide pelo seu maior divisor primo e diz o resultado em voz alta e assim sucessivamente. Ganhará aquela que disser em voz alta o número 1, momento em que o jogo termina.

Ana escolheu um número maior que 50 e menor que 100 e ganhou.

Verônica escolheu o número seguinte ao escolhido por Ana e também ganhou.

Determinar todos os números que possam ter sido escolhidos por Ana.

Problema 2. O dono de uma loja de ferragens comprou uma partida de parafusos em caixas fechadas e os vende avulsos: nunca tem mais de uma caixa aberta. No fim da segunda-feira restam 2208 parafusos, no fim da terça-feira há ainda 1616 parafusos e no fim da quarta-feira restam 973 parafusos.

Para controlar os empregados, todas as noites anota a quantidade de parafusos que há na única caixa aberta. A quantidade anotada na terça-feira é o triplo da anotada na segunda-feira e a quantidade anotada na quarta-feira é o dobro da de segunda-feira.

Quantos parafusos há em cada caixa fechada? Sabe-se que são menos de 500.

Problema 3. Considera-se inicialmente um número de três algarismos distintos, nenhum dos quais igual a zero. Trocando de lugar dois de seus algarismos, encontra-se um segundo número menor que o primeiro. Se a diferença entre o primeiro e o segundo números é um número de dois algarismos e a soma do primeiro com o segundo é um número capicua menor que 500, quais são os capicuas que podem ser obtidos?

Observação:    Um número capicua é um número que pode ser lido indiferentemente da frente para trás e de trás para frente,  como por exemplo o número 191.

Problema 4. Considera-se uma pirâmide cuja base é um triângulo equilátero BCD e cujas outra faces são triângulos isósceles, retângulos no vértice comum A. Uma formiga sai do vértice B, chega a um ponto P da aresta CD, dali vai a um ponto Q da aresta .AC ejetorna ao ponto B.

Problema 5. Temos 105 moedas, entre as quais sabemos que há três falsas. As moedas autênticas possuem todas o mesmo peso, que é maior que o das falsas, as quais também têm pesos iguais. Determine de que maneira podem-se selecionar 26 moedas autênticas realizando apenas duas pesagens em uma balança de dois pratos.

Vários estados brasileiros têm suas Olimpíadas Regionais em diferentes épocas do ano.

   A RPM recebeu exemplares das provas do 1.° e 2.° graus da VI Olimpíada de Matemática de Natal, realizada em duas etapas, a primeira em 13/5/95 e a segunda em 20/5/95. Essas provas são bastante interessantes, mas por falta de espaço vamos deixar de publicá-las.

Inf.: Benedito Tadeu Vasconcelos Freire (coordenador) - Caixa Postal 1214 -59071-970 Natal, RN.

    Em junho realizou-se a Olimpíada de Matemática do ABC, em Santo André, SP, com provas distintas para a 6.ª e 8.ª séries do 1.° grau e 2.ª série do 2.° grau.

Inf.: Marco Polo Melo (coordenador) - Colégio Singular - Rua Alvares de Azevedo, 222 - 09020-140 Santo André, SP.

     Em setembro será realizada a II Olimpíada de Matemática de Jataí.

Inf.: Maurício França (coordenador) - Escola Técnica Federal de Goiás - Rua Riachuelo, 2090 - 75800-000 Jataí, GO.

      Em 30/9 e 9/12 serão realizadas, respectivamente, a 2.ª fase e a final da 19.ª Olimpíada de Matemática do Estado de São Paulo.

inf.: Shigueo Watanabe (coordenador) - Academia de Ciências do Estado de São Paulo - Caixa Postal 64584 - 05497-970 São Paulo SP.