Eduardo Wagner Rio de Janeiro, RJ Neste mesmo número da RPM, o professor José Paulo Carneiro nos mostra uma elegante demonstração da desigualdade de Cauchy-Schwarz para o caso  n = 2:   onde   a1, a2, b1 e b2   são reais quaisquer. Entretanto, é natural a curiosidade sobre o caso geral. Vamos, neste artigo, mostrar uma demonstração simples (sem recursos da Álgebra Linear) e algumas aplicações do caso geral dessa desigualdade. TEOREMA: Dados 2n  números reais:   a1, a2, . . . ,an, b1 b2, . . . ,bn,  temos: valendo a igualdade se, e somente se, Demonstração: Inicialmemte, vamos observar que, para dois reais quaisquer a e b,  temos: valendo a igualdade se, e só se,   a = b. Façamos agora e consideremos os números Observe que Temos então as desigualdades: Somando, obtemos   Portanto, como queríamos demonstrar. Observemos ainda que a igualdade vale se, e somente se,   EXEMPLOS Vamos começar com um problema que, aparentemente, não tem relação com o que acabamos de demonstrar. 1) Em um trapézio de bases a e b, determinar o comprimento x de um segmento paralelo às bases que divida esse trapézio em dois outros de mesma área. A figura ao lado ilustra o enunciado do problema. Para resolver, prolongamos os lados opostos não paralelos do trapézio para formar três triângulos semelhantes: o menor de área A e base b, um outro de área A + S e base x, e o maior de área A + 2S  e base  a. Como as áreas de figuras semelhantes são proporcionais aos quadrados dos segmentos homólogos (correspondentes), temos: Utilizando a seguinte propriedade elementar das proporções: Está resolvido o problema. O segmento que divide um trapézio em dois outros de mesma área foi determinado. Vamos agora observar o seguinte. A base média do trapézio (segmento equidistante das bases) tem comprimento (a + b) / 2 . Essa base média divide o trapézio em dois outros onde a área do "de cima" é claramente menor que a área do "de baixo". Então, o nosso segmento x certamente está abaixo da base média do trapézio. Isso tudo mostra claramente que Essa é a desigualdade entre a média aritmética e a média quadrática de dois números e, mais uma vez, tivemos a oportunidade de mostrar um resultado sobre números reais positivos "usando áreas". Podemos, entretanto, demonstrar a desigualdade entre as médias aritmética e quadrática a partir da desigualdade de Cauchy-Schwarz. Vejamos. Temos, no caso   n = 2, que Dividindo tudo por 2, temos como queríamos demonstrar. O leitor deve reparar, neste ponto, que a mesma ideia que utilizamos para  n = 2  demonstra, no caso geral, que   . valendo a igualdade se, e somente se,   a1=  a2 =  . . .  =  an. O segundo problema será deixado como exercício para o leitor. 2) Prove que para quaisquer números reais positivos  a1, a2, . . . an , Sugerimos ao leitor tentar demonstrar essa desigualdade para n = 2 e, em seguida, o caso geral utilizando a desigualdade de Cauchy-Schwarz.