José Paulo Q. Carneiro
Rio de Janeiro, RJ

Cada professor tem a sua demonstração favorita das importantes fórmulas de sen(a ± b) e cos (a ± b). De qualquer forma, é sabido que, deduzida uma delas, as outras podem ser obtidas por complemento, suplemento, etc. Uma das mais simples e rápidas que conheço é uma demonstração "visual", que se baseia, em primeiro lugar, na conhecida fórmula:

a = b cosC + c cosB        (1)

onde a, b, c, A, B, C são os lados e ângulos respectivos de um triângulo. Essa fórmula pode  ser  visualizada facilmente e diz apenas que o lado a é a soma (ou a diferença, se B ou C for obtuso) das projeções ortogonais dos lados  b e c  sobre o próprio  a, como se vê na figura ao lado.

Por outro lado, é também bastante conhecida a lei dos senos em um triângulo, segundo a qual:

onde  R  é o raio do círculo circunscrito. Isso decorre imediatamente da figura na página seguinte

Segue-se de (2) que, num círculo de diâmetro 1,  tem-se:

a = sen A ,  etc.

Então, para um triângulo inscrito lesse círculo, a fórmula   (1)   se lê:

sen A = sen B cos C + sen C cos B .

E como, finalmente, o ângulo A é o suplemento de B + C, ou seja, têm o mesmo seno, obtém-se a célebre fórmula:

sen (B + C) = sen B cos C + sen C cos B .
 

Essa dedução é válida para   B + C < 180°,   o que é suficiente para deduzir o caso geral.

A demonstração acima baseia-se numa ideia de S.H. Kung, encontrada na revista Mathematics Magazine, v. 64, n.° 2, abril de 1991.

Intimamente ligada com a fórmula do cos (A B) está a desigualdade de Cauchy-Schwarz no plano.

Essa importante desigualdade afirma que, se (a; b) e (c; d) forem vetores de IR², então o valor absoluto de seu produto escalar não excederá o produto de seus comprimentos, ou seja:

Deve-se notar que, como o cosseno do ângulo de dois vetores não nulos de IR² é igual a seu produto escalar dividido pelo produto dos seus comprimentos, então a desigualdade (3) traduz o fato de que o valor absoluto desse cosseno não ultrapassa 1. Visto de outro modo, pode-se dizer que a desigualdade de Cauchy-Schwarz justifica aquela definição de cosseno do ângulo de dois vetores, que pode também ser motivada pela fórmula do  cos (A B).

Uma demonstração rápida e "visual" de (3) é devida a R. Nelsen na mesma revista citada: v. 67, n° 1, fevereiro de 1994, e baseia-se na observação "evidente" - nada mais que "a oblíqua é maior que a perpendicular" - de que, fixados os comprimentos dos lados de um paralelogramo, sua área máxima ocorrerá quando ele for um retângulo.

Considere então as figuras:

Pela observação inicial, a área da figura da esquerda não excede a da direita, isto é:

Simplificando, obtém-se (3) para números positivos. Levando em conta, porém, que

a desigualdade segue para números de sinais quaisquer.

Essa idéia pode ser usada também para mostrar quando é que ocorrerá a igualdade em (3). De fato, a igualdade das áreas das duas figuras ocorrerá quando o paralelogramo da esquerda for retângulo; nesse caso, a semelhança dos triângulos que o cercam obrigará a que: a/c = b/d, ou seja, os vetores de coordenadas positivas (a;b) e (c;d) serão paralelos e de mesmo sentido. Observe que nesse caso ocorre também a igualdade na desigualdade triangular. O leitor poderá estender ainda algebricamente para o caso de  a, b, etc. serem de sinais quaisquer.

Finalmente, uma notícia: uma coletânea de 144 "demonstrações visuais" foi reunida por R.B. Nelsen no recente livro Proofs without Words, editado pela Mathematical Association of America.