As Olimpíadas de Matemática, sob as mais variadas formas, estão se disseminando pelo mundo todo. Muito já se discutiu sobre o valor pedagógico dessas olimpíadas e tudo leva a crer que o assunto está longe de encerrar-se. Entretanto, o fato de cada vez mais e mais pessoas estarem se engajando nessa atividade, em praticamente todos os países, pode ser um indicador da sua importância.

As olimpíadas ditas culturais, das quais as de Matemática são as mais conhecidas, diferem das olimpíadas esportivas num aspecto aparentemente despercebido: as olimpíadas esportivas constituem-se num fim em si mesmas, isto é, o atleta olímpico treina explicitamente para ganhar medalhas. As olimpíadas de Matemática, pela natureza do evento, não têm a possibilidade de se tornarem seus próprios fins. Não existe nenhum participante de olimpíadas de Matemática que tenha a pretensão de permanecer muito tempo competindo, nem que faça da obtenção de alguma medalha o projeto máximo de sua vida. E claro que há competição, é possível que haja rivalidades, mas os organizadores dessas olimpíadas sempre sublinham o fato de que mais importante do que ganhar medalhas é participar do evento: o estu­dante olímpico vive uma série de experiências enriquecedoras de sua personalidade e de sua consciência como cidadão do mundo.

Estão sendo discutidos novos formatos de olimpíadas, que bus­cam minimizar características tidas como negativas e que alguns educadores atribuem a esses eventos, como o elitismo, o estímulo à competitividade doentia, a eliminação de estudantes com potencial que não se enquadram nas normas supostamente rígidas das olimpíadas, etc, etc. Voltaremos a esta discussão em outra oportunidade.

Relatos de todas as partes do mundo evidenciam que as escolas envolvidas com as olimpíadas de Matemática obtiveram algum tipo de melhoria em seu ensino: dedicação maior por parte dos professores envolvidos e um aumento no entusiasmo pelo estudo em geral, não somente da Matemática, são alguns desses aspectos positivos.

Como tem acontecido nos últimos anos, o Brasil irá participar, em 1995, de três Olimpíadas de Matemática:

Olimpíada Internacional de Matemática, no Canadá, em julho;

Olimpíada Ibero-Americana de Matemática, no Chile, em setembro;

Olimpíada de Matemática do Cone Sul, na Bolívia, em junho.

Além dessas, em 1995 será realizada pela primeira vez a Olimpíada de Maio, por correspondência, envolvendo estudantes de várias faixas etárias de países ibero-americanos.

Neste momento, estudantes de várias partes do Brasil, selecionados pela Olimpíada Brasileira de Matemática de 1994, estão parti­cipando do treinamento que se estende do início do ano até o mês de maio, quando se submeterão a uma prova adicional. A composição das três equipes levará em conta a classificação na Olimpíada, o desempenho no treinamento e o resultado da prova final, como já tivemos oportunidade de explicar em artigos anteriores.

Apresentamos a seguir as questões das provas das olimpíadas Mundial (35.ª OIM) e Ibero-Americana (9.ª OIAM) de Matemática de 94.   O leitor que desejar receber as resoluções dessas questões ( 6 folhas, tamanho ofício) deverá encaminhar o pedido, juntamente com um envelope auto-endereçado e selado, para: Professor Elio Mega ETAPA / Olimpíadas de Matemática Rua Vergueiro, 1987 04101-000 São Paulo, SP

A duração das provas de cada dia é de 4,5 horas e cada problema vale 7 pontos.

Primeiro dia 13 de julho de 1994

1.   Sejam  m  e   n   inteiros positivos e    a₁, a₂,...,a_m   elementos distintos de {1,2, ...,n},   tais que sempre que   a₁ + a_j n,   para   1 i j m,   então existe algum   k, 1 k m,   tal que   a_i + aj = a_k.   Prove que

2.   Seja ABC um triângulo isósceles com  AB = AC.  Suponhamos que

i)  M é o ponto médio do segmento BC e O é o ponto da reta tal que e são perpendiculares;

ii)  Q é um ponto do segmento BC diferente de B e C;

iii) E é um ponto da reta e F é um ponto da reta tais que E, Q e F são distintos e colineares.

3.   Para todo inteiro positivo   k,   seja   f(k)   o   número   de   elementos   do   conjunto   {k+l, k + 2,...,2k},   cuja representação na base 2 tem exatamente três algarismos 1.

a)    Prove que, para cada inteiro positivo m, existe pelo menos um inteiro positivo k tal que          f(k)= m.

b)    Determine todos os inteiros positivos m para os quais existe um único k tal que f(k) = m.

Segundo dia 14 de julho de 1994

4.   Determine todos os pares de inteiros positivos (m,n) tais que

seja um inteiro.

5.   Seja S o conjunto dos números reais estritamente maiores que 1.  Determine todas as funções  f : S S que verificam as duas condições seguintes:

i)   f(x + f(y) + xf(y)) = y + f(x) + yf(x) quaisquer que sejam x e y em S;

ii)  f(x)/x   é   estritamente   crescente  em   cada  um   dos   intervalos l < x < 0    e    x > 0.

6.   Mostre que existe um conjunto de inteiros positivos  A  verificando a seguinte propriedade:   dado qualquer conjunto infinito de números primos  S,  existem dois inteiros positivos  m A  e  n A, cada um dos quais sendo o produto de  k,     k 2,   elementos distintos de S.

A duração das provas de cada dia é de 4,5 horas e cada problema vale 10 pontos.

Primeiro dia  20  de setembro de 1994

1.      Diz-se que um número natural n é sensato se existe um inteiro r, com 1 < r < n 1, tal que a representação de n na base r tem todos os seus dígitos iguais. Por exemplo, 62 e 15 são sensatos, já que 62 é 222 na base 5 e 15 é 33 na base 4. Demonstrar que 1993 não é sensato mas 1994 é.

2.  Seja um quadrilátero inscrito em uma circunferência, cujos vértices se denotam consecutivamente por A, B, C e D, Suponha que exista uma semicircunferência com centro em AB, tangente aos outros três lados do quadrilátero.

i)   Demonstrar que AB = AD + BC.

ii)  Calcular, em função de  x = AB  e  y = CD,  a área máxima que pode atingir um quadrilátero que satisfaz as condições do enunciado.

3.  Em cada casa de um tabuleiro n x n há uma lâmpada.   Ao ser tocada uma lâmpada, mudam de estado ela própria e todas as lâmpadas situadas na linha e na coluna que ela determina (as que estão acesas se apagam e as que estão apagadas se acendem).

Inicialmente todas estão apagadas. Demonstrar que é sempre possível, com uma sucessão adequada de toques, fazer com que todo o tabuleiro fique aceso e encontrar, em função de n, o número mínimo de toques para que se acendam todas as lâmpadas.

Segundo dia  21  de setembro de 1994

4.  São dados os pontos A, B e C sobre uma circunferência K de maneira que os ângulos do triângulo ABC sejam agudos. Seja P um ponto interior a K. São traçadas as retas , e , que cortam novamente a circunferência em X, Y e Z. Determinar o ponto  P  para que o triângulo XYZ seja equilátero.

5.  Sejam n e r dois inteiros positivos. Deseja-se construir r subconjuntos A₁, A₂ ,. . . , A_r de {0,1, . . ., n 1}, cada um deles com exatamente  k  elementos, tais que, para cada inteiro  x,  0 < x n 1, existem x₁ em A₁,  x₂ em A₂, . . .,  x_r em A_r (um elemento em cada conjunto), com

x  = x₁ + x₂ + . . . + x_r .

Achar o menor valor possível de k em função de n e r.

6.  Demonstrar que todo número natural n < 2^{1 000 000} pode ser obtido a partir de 1 fazendo-se menos de 1 100 000  somas; mais precisamente, há uma sucessão finita de números naturais  x₀, x₁, . . ., x_k  com   k < 1 100 000,  x₀ = 1,  x_k = n,  tal que, para cada i = 1 ,2, . . . ,k, exisiten   r  , s   com 0 r < i,  0 s < i   e   x₁ = x_r + x_s,.