118.  Na figura abaixo os triângulos   ABC  e   BDE   são retângulos e isósceles.   Os pontos   M,  N, P e Q são respectivamente os pontos médios dos segmentos AC, AD, DE e EC. Prove que o quadrilátero MNPQ é um quadrado.
 (Proposto por Cláudio Arconcher, SP.)

119.  Na figura,  AB₁ AB₂, AB₃, . . .,AB_n, . . .crescem em progressão aritmética. Mostre
que    B₁B₂ > B₂B₃ > . . .> B_nB_n+i > . . . .

(Enviado por António Carlos Peixoto de Mello, DF, que citou como fonte o livro Elementos de Geometria., FIC, 16.ª ed., p. 38.)

120. Prove que todo número natural tem um múltiplo que se escreve, na base 10, apenas com os algarismos 0 e 1.

(Do livro Análise Combinatória e Probabilidade, Morgado, A. e outros, Rio de Janeiro, SBM, 1991.)

Uma sugestão do colega Juarês Saddock de Sá, de Nova Iguaçu, RJ (que aparece nos "probleminhas"), fez com que os responsáveis pela seção lembrassem de um problema que encontraram pela primeira vez em meados da década de 50. Embora, talvez, muitos leitores o conheçam, acreditamos que vale a pena reapresentá-lo aqui por ser essencialmente um exercício de puro raciocínio, exigindo poucos conhecimentos prévios para a sua resolução. E, seguindo o exemplo das televisões, que adaptam para os tempos atuais suas velhas novelas, substituímos por trens metropolitanos os bondes da versão original, que infelizmente (pelo menos para nós da velha guarda) não existem mais.

121. Num sistema elevado de trens metropolitanos existem duas estações, A e B, entre as quais circulam trens nos dois sentidos, com velocidade constante. De 5 em 5 minutos ocorre, simultaneamente, nas duas estações, o cruzamento de dois trens. Um atleta parte da estação A, em direção a B, no instante em que nela se cruzam dois trens, e percorre uma trajetória paralela aos trilhos com velocidade constante, chegando a B num instante em que lá ocorre também o cruzamento de dois trens. Incluindo os trens que viu nas estações, o atleta vê durante o percurso 38 trens, sendo 15 no mesmo sentido e 23 no sentido contrário. Determine o tempo gasto pelos trens para percorrer a distância entre as duas estações.  (Considere os trens como objetos pontuais.)

1.    Você reparou que a RPM tem uma nova caixa postal?    Mostre que o seu número é produto de dois primos. O novo CEP (sem o 970) também é produto de dois primos. Quais?
(Proposto por Alciléa Augusto.)

2.     Agora que existem moedas à vontade, de quantos modos distintos você pode pagar 25 centavos?

3.     Um trem parte de uma cidade A para uma cidade B no mesmo instante em que outro trem parte de B para A.    Os dois se cruzam, cada um em sua trajetória, a 9 km da cidade B. Completam a viagem, partem em sentidos contrários aos iniciais e se cruzam, novamente, a 12 km da cidade A.  Supondo constanteas velocidades dos trens, determine a distância entre A e B.
(Enviado por Juarês Saddock de Sá, Nova Iguaçu, RJ.)

(Ver respostas na.seção "Cartas do Leitor")

110. Mostre qvie a equação   x³ 6px² 2p³ = 0,   onde   p   é um número natural, não admite nenhuma raiz que seja um número natural.

Solução:

Observemos inicialmente que a equação dada é equivalente a x²(x 6p) = 2p³. Como o lado direito da igualdade é um número positivo, segue-se que qualquer raiz real da equação será necessariamente maior do que   6p. Vamos supor que a equação admita um número natural   x₀   como raiz. Nessas condições é fácil ver que o número racional  x₀ / p  é raiz da equação

y³ 6y² 2 = 0.

Como as únicas possíveis raízes racionais dessa equação são ±1 e ±2, segue-se que os únicos valores possíveis de x₀ são ± p e ± 2p. Como nenhum desses valores é maior do que 6p, conclui-se que não existe nenhum número natural x₀   que seja raiz da equação dada .

[Adaptado de soluções enviadas por vários leitores.]

Obs.: Os leitores José Hernandes, de São José do Rio Preto, SP, J. Cláudio M. Velloso, do Rio de Janeiro, RJ, e Sérgio N. Safo, de Guarulhos, SP, observaram que a equação dada era equivalente a

(x  p)³ + x³ = (x +  p)³

Segue-se que se existisse uma raiz x₀  que fosse um número natural, como x₀ seria necessariamente maior do que   p,   existiriam números inteiros positivos,  y,  z   e   w    tais que    y³ + z³  =  w³,    o que contraria o "último teorema de Fermat".

Embora a demonstração no caso geral ainda esteja em suspenso [v. p. 20 nesta RPM], sabe-se que a afirmação do teorema é verdadeira para muitos casos particulares, inclusive para   n = 3   [v. RPM 15, p. 14].

111. Considere o experimento que consiste em cinco lançamentos independentes de um dado perfeito. Determine a probabilidade de que o produto dos números observados seja múltiplo de 10.

Solução:

O experimento que consiste em cinco lançamentos de um dado perfeito tem 6⁵ = 7 776 resultados possíveis. Para que o produto dos cinco números observados seja múltiplo de 10 é preciso que pelo menos um deles seja igual a 5  e que pelo menos um deles seja par.

É fácil ver que é bem mais simples contar os elementos do conjunto complementar, isto é, contar o número dos resultados nos quais o produto dos números observados   não    é múltiplo de 10.

Estão no conjunto complementar todos os resultados que não contêm o número 5, isto é, os resultados formados pelos números 1, 2, 3, 4, 6 que são em número de 5⁵ = 3 125.    Estão também no conjunto complementar os resultados formados apenas pelos números ímpares, 1, 3, 5, em número de 3⁵ = 243. Observe agora que os resultados formados apenas pelos números 1 e 3 (que são em número de 2⁵ = 32) foram contados duas vezes. Portanto o número dos resultados que não são múltiplos de 10  é   3 125 + 243 32 = 3 336.

Segue-se que o número dos que são múltiplos de 10 é 7 776 3 336 = 4 440. Portanto, a probabilidade pedida vale   4 440 / 7 776 = 185 / 324.

[Adaptado da solução enviada por José Bartolomeu de Carvalho, de Recife, PE.]

112. Na figura são dadas duas semiretas r e s, por O, e um pontoP. Entre todos os triângulos OMN, com   M e N   variando em r e s, respectivamente, tais que P MN, determinar o de área mínima.

Solução:

O triângulo OMN de área mínima é aquele em que P é ponto médio de MN.

De fato, para qualquer outro triângulo   OM'N',   traçamos    MQ   paralela à reta  s   até encontrar   M'N'   no ponto   Q.

Como os triângulos   PQM   e PNN'   são congruentes, concluímos que a área do triângulo  OM'N'   é maior do que a área do triângulo  OMN . [Solução de vários leitores.]

é par porque   t 2^s-1   e para   t   ímpar ele é par porque   2^s   é um fator do numerador .

Os responsáveis por esta seção se acostumaram, durante certo período, a receber críticas e sugestões do colega Sergio Dalmas, de São Vicente, SP. Colaborador assíduo da seção, ele freqüentemente reclamava (algumas vezes com razão) de falhas que descobria nos problemas e nas soluções. De repente as cartas pararam de chegar e a ausência das soluções (geralmente muito boas) do Sérgio era compensada pela ilusão de que talvez estivéssemos cometendo um menor número de erros.

Recentemente o Sérgio voltou a todo vapor com reclamações, sugestões e até mesmo uma solução para o problema 57 da RPM 11, que pretendemos discutir no próximo número. Descobrimos, então, que ele está agora em Florianópolis, SC (onde faz doutorado em Matemática) e que, provavelmente, os transtornos da mudança (e não uma melhora da qualidade da seção) foram os principais responsáveis pelo seu prolongado silêncio.

Vamos procurar responder agora a uma crítica do Sérgio sobre a solução do problema 105, que foi publicada na RPM 25.

Enunciado: Sabendo-se que a função f : IN IN satisfaz a condição f(n + 1) > f(f(n))   para todo   n IN;  provar que   f(n) = n.

A solução apresentada começava observando que o conjunto A = { f(n) I n IN} era um conjunto de números naturais e, portanto, tinha um menor elemento que deveria ser necessariamente f(1). De fato, se f(k), k > 1, fosse o menor elemento de   A,   teríamos uma contradição, uma vez que   f(k) > f(f(k 1)).

Dissemos a seguir (o que provocou o protesto do Sérgio) que o mesmo argumento nos permitia concluir que  f(2) era o mínimo do conjunto B = { f(2), f(3), . . .}. Embora a afirmação seja verdadeira, a crítica faz sentido, uma vez que a utilização do argumento não é tão simples e óbvia como à primeira vista poderia parecer.

Suponhamos que f(k), k > 2, seja o mínimo do conjunto B. Como f (k) > f (f (k 1)),  f (f (k 1)) não pode pertencer a B e, portanto, a única alternativa seria f (f (k 1)) =  f( l) . Se f (k 1) = > 1, f () =  f (1) seria um mínimo de A, o que é absurdo. Se f (k 1) = 1, teríamos f (k 1) como um mínimo de A, o que também é absurdo já que k, por hipótese, é maior do que 2. Logo, f (2) é, de fato, o mínimo de  B.