Hideo Kumayama*
São Bernardo do Campo, SP

Muitas vezes nossos alunos nos trazem desafios e, lendo a RPM 23, p. 34, encontrei um que já me havia sido proposto por alunos: por que um número de 6 algarismos, da forma ABC ABC, é divisível por 7?   A explicação é muito simples:

ABC ABC = 1001 ^. ABC = 7 ^. 143 ^. ABC,

logo,   ABC ABC é divisível por 7.

Observando com mais cuidado esse argumento, podemos encontrar um critério de divisibilidade por 7.

Vejamos um exemplo:

O número   1916 544  é divisível por 7?

1 916 544 = 544 + 916 ^. 1000 + 1 ^. (1000)²

                              = 544 + 916 ^. (1001 1) + 1 ^. (1001 l)²

          = k 1001 + 544 916+ 1.

Fica claro que 1916 544 é divisível por 7 se, e somente se, 544 916 + 1 o for. Mas 544 916 + 1 = 371 = 7 ^. 53, o que mostra que   1916 544  é divisível por 7.

Mas, afinal, que critério de divisibilidade é esse?

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*Adaptação do Comité Editorial da RPM, aprovada pelo autor.

Um número é divisível por 7 se, e somente se, a diferença entre a soma de suas classes pares e a soma de suas classes ímpares for um número divisível por 7.

Justificativa: Seja N = a_i ^{. . .} a₂a₁a₀, onde a₀ é a classe das unidades, a₁, a classe dos milhares, a₂, a classe dos milhões, e assim sucessivamente.

N = a₀(1001 l)⁰ + a₁(1001 l)¹ + ^{. . .} +a_n(1001 l)ⁿ.

No desenvolvimento de N todas as parcelas serão múltiplas de 1001, exceto   a₀, a₁,  a₂,  a₃, ^{. . .}, ou seja, as da forma  ( l)ⁱa_i.

Assim sendo, para verificar se um número é divisível por 7, basta somar suas classes ímpares, subtrair esse resultado da soma das classes pares e verificar se esse resultado é divisível por 7.

Exemplo: 15 627 819340   é divisível por 7, pois:

 123 121   não é divisível por 7, pois

que não é divisível por 7.

Observe que 1001 = 7 ^. 11 ^. 13, e daí podemos definir critérios de divisibilidade por 11 e por 13 idênticos ao que definimos para 7.