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Gilda de La Rocque Palis
Achar os zeros de uma função f, isto é, achar valores de x para os quais f(x) = 0, é um problema freqüente e importante em Matemática. Durante sua vivência escolar os alunos resolvem problemas desse tipo em várias ocasiões, em geral obtendo soluções exatas, expressas por fórmulas fechadas. Por exemplo:
Em geral, nesses estudos, de natureza essencialmente algébrica, estão ausentes dois pontos de vista complementares e importantes: o gráfico e o numérico. Essa ausência se deve em parte às dificuldades intrínsecas de implementação de atividades nesses contextos. A utilização de novas tecnologias computacionais (calculadoras e softwares gráficos) viabiliza a incorporação dos pontos de vista numérico e gráfico. Além disso, ferramentas computacionais permitem uma liberdade bem maior na escolha das funções de trabalho, não sendo mais necessário levar em conta as limitações do cálculo e do desenho realizados à mão. Softwares gráficos produzem em pouquíssimo tempo esboços de gráficos de funções difíceis ou impossíveis de desenhar à mão; e ferramentas numéricas fornecem rapidamente resultados de processos computacionais tediosos e demorados. Essas facilidades permitem uma ampliação importante no universo de funções estudadas; suas expressões podem ser mais complexas, pode-se trabalhar com funções polinomiais de maior grau, com funções transcendentes de difícil fatoração, etc. [2] De acordo com vários pesquisadores, a representação de objetos matemáticos em contextos complementares, como os contextos gráfico, algébrico e numérico, permitida por alguns programas computacionais, pode favorecer o processo de construção do conhecimento desses objetos [1].
Mas com ferramentas computacionais não se ensina da mesma forma e certamente não as mesmas coisas. A conjugação de cálculos exatos com cálculos "reais", logo aproximados, contrapõe objetivos algébricos e numéricos e a Matemática se "decimaliza". A distinção entre soluções exatas e aproximadas poderia ser incluída na prática escolar mais cedo do que usualmente se tem realizado. Em particular, os alunos deveriam usar o sinal de igualdade somente com o significado de exatamente igual, e se familiarizar com o emprego da simbologia de valor absoluto nas situações de aproximação. Veremos adiante que a procura de zeros de funções reais é um problema aue permite trabalhar com essas ideias. Inicialmente, vamos enunciar uma definição que será empregada no restante do texto e dar alguns exemplos ilustrativos. Definição: Dizemos que um número real a é uma aproximação do número real r, com erro menor que E, se
|
a
ou seja, se, na reta numérica, a distância entre a e r for menor do que E.
Vejamos alguns exemplos:
1. O número
a
= 2,146
é uma aproximação de
r
= 2,15
com erro
menor do que
0,01,
pois
|
a
2. Se r pertence ao intervalo (1,32; 1,58), podemos dizer que 1,33 é uma aproximação de r com erro menor do que 0,26, pois
|1,33
De fato, todo real no intervalo considerado é uma aproximação de r com erro menor do que 0,26. 3. Se r pertence ao intervalo (1,32; 1,58), podemos dizer que' seu ponto médio, 1,45, é uma aproximação de r com erro menor do que 0,13, pois
4. Se r pertence ao intervalo (3,55; 3,56), podemos dizer que 3,55 é uma aproximação de r com erro menor do que 0,01. De fato, todo real no intervalo considerado é uma aproximação de r com erro menor do que 0,01. Vamos agora apresentar dois problemas, que podem ser resolvidos com o apoio de calculadoras gráficas ou softwares gráficos. Essas ferramentas desenham gráficos de funções restritos a regiões bem definidas do plano cartesiano; essas regiões são comumente denominadas janelas gráficas. Todas as figuras deste texto foram geradas utilizando o software MPP (Mathematics Plotting Package - V3.49), um programa de domínio público desenvolvido pela Academia Naval dos Estados Unidos. [4]
Determine uma aproximação do maior zero da função
f(x)
= x3
com erro menor do que 10-4.
A partir do gráfico da função na "janela" [
Examinando o gráfico da função na
"janela"
[4, 5]
x
[—10, 10]
(Figura 2), onde o intervalo
[4, 5] está dividido em subintervalos de comprimento 0,1, vemos que r
pertence ao intervalo (4,8; 4,9). Podemos concluir, então, que |
4,8
Agora, olhando o gráfico da mesma função na "janela" [4,8; 4,9]
x
[
|
O desenho do gráfico da função na janela [4,84; 4,85]
x
[
Examinando o gráfico da função na "janela" [4,85; 4,86]
Para finalizar, examinemos o gráfico da mesma função na "janela" [4,850; 4,851] x [-0,01; 0,01] (Figura 5), com o intervalo [4,850; 4,851] dividido em subintervalos de comprimento 0,0001. Vemos agora que r pertence ao intervalo [4,8502; 4,8503], e assim
4,8502 é uma aproximação de r com erro menor do que 0,0001. Logo, 4,8502 é uma das respostas possíveis para o problema proposto. Observe que em cada etapa há várias respostas possíveis. A escolha que fizemos determina os truncamentos da expansão decimal de r; com efeito, 4,8502 são os primeiros dígitos da expansão decimal da solução.
Determine uma aproximação racional do maior zero da função
com erro menor que 10-3. Denotemos esse zero por r. Em se tratando de uma função quadrática, sabemos que
De maneira análoga ao que foi feito no problema anterior, apoiando-se nas Figuras 6 a 9, podemos concluir que:
Assim,
Essa questão pode também ser resolvida algebricamente:
Suponhamos que a seja uma aproximação de
Multiplicando (2) por
Somando (1) e (3) temos:
o que indica que a
— b
é uma aproximação de Problemas de construção de aproximações de números reais, envolvendo diversos procedimentos (truncamentos da expansão decimal, método de bisseção, método de aproximações sucessivas, etc), são muito interessantes para ampliar o conhecimento dos alunos sobre o Sistema de Números Reais e para apoiar o desenvolvimento posterior do conceito de Sequência Convergente. [3], [5] e [6]
O
programa MPP (Mathematics Plotting Package - V3.49) é um
conjunto de módulos integrados em um programa com os quais se podem obter
gráficos de funções
f : IR
Esse programa foi desenvolvido na Academia Naval dos Estados Unidos por H.L. Penn, J. Buchanan e F. Pittelli, e requer pouco tempo para se familiarizar com seu manuseio. O Programa roda em IBM-PC e clones com um mínimo de 512K de memória e monitor CGA, EGA ou VGA. No entanto, para que possam ser aproveitadas as facilidades do programa relacionadas ao emprego de cores variadas, é aconselhável o uso de monitor colorido e placa EGA ou VGA. Mas isso não é essencial.
Se algum leitor desejar uma cópia do programa (a preço do disco somente,
pois se trata de um programa de domínio público) e uma cópia do manual em
português [4], encaminhe um pedido ao Departamento de Matemática, PUC-Rio,
Rua Marquês de São Vicente, 225 - 22453-900 Rio de Janeiro, RJ, aos cuidados
da Professora Gilda de
La Rocque
Palis, anexando ao pedido um envelope selado e auto-endereçado para que lhe
possamos mandar, na ocasião, os preços do disquete, manual e correio. Referências Bibliográficas [1] DOUADY, R. Jeu de cadres et diàlectique outil-objet, Reclierches eu Didactiques des Mathematiques 7, 1986. [2] PALIS, G.L.R. Experiências com a u tilizanção de um software gráfico na área de Matemática, Anais do II Seminário Nacional de Informática Educativa, U.F. Alagoas, 1991. [3] MALTA, I. e PALIS, G.L.R. Números reais e seqüências numéricas, Departamento de Matemática, PUC-Rio, 1994. [4] PALIS, G.L.R. Manual de apoio ao uso do MPP (Mathematics Plotling Package), Departamento de Matemática, PUC-Rio, 1994. [5] PALIS, G.L.R. Caderno de atividades para serem realizadas com apoio de microcomputadores: funções elementares, Departamento de Matemática, PUC-Rio, 1994. [6] PALIS, G.L.R. Experiências de construção de aproximações de números reais usando programas aplicativos, Anais do Workshop Aplicações Inovadoras de Informática na Educação, Coppe - UFRJ, junho de 1994.
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