Gilda de La Rocque Palis PUC-Rio O conhecimento se torna mais sólido quando foi construído e aplicado em mais de um ambiente  conceitual apropriado.    (Douacly [l]) Achar os zeros de uma função f, isto é, achar valores de x para os quais f(x) = 0, é um problema freqüente e importante em Matemática. Durante sua vivência escolar os alunos resolvem problemas desse tipo em várias ocasiões, em geral obtendo soluções exatas, expressas por fórmulas fechadas. Por exemplo: Em geral, nesses estudos, de natureza essencialmente algébrica, estão ausentes dois pontos de vista complementares e importantes: o gráfico e o numérico. Essa ausência se deve em parte às dificuldades intrínsecas de implementação de atividades nesses contextos. A utilização de novas tecnologias computacionais (calculadoras e softwares gráficos) viabiliza a incorporação dos pontos de vista numérico e gráfico. Além disso, ferramentas computacionais permitem uma liberdade bem maior na escolha das funções de trabalho, não sendo mais necessário levar em conta as limitações do cálculo e do desenho realizados à mão. Softwares gráficos produzem em pouquíssimo tempo esboços de gráficos de funções difíceis ou impossíveis de desenhar à mão; e ferramentas numéricas fornecem rapidamente resultados de processos computacionais tediosos e demorados. Essas facilidades permitem uma ampliação importante no universo de funções estudadas; suas expressões podem ser mais complexas, pode-se trabalhar com funções polinomiais de maior grau, com funções transcendentes de difícil fatoração, etc. [2] De acordo com vários pesquisadores, a representação de objetos matemáticos em contextos complementares, como os contextos gráfico, algébrico e numérico, permitida por alguns programas computacionais, pode favorecer o processo de construção do conhecimento desses objetos [1]. Porém, é preciso destacar que certamente a qualidade do aprendizado depende, em grande parte, da qualidade das tarefas propostas aos alunos e não da disponibilidade ou emprego de tecnologias computacionais. Mas com ferramentas computacionais não se ensina da mesma forma e certamente não as mesmas coisas. A conjugação de cálculos exatos com cálculos "reais", logo aproximados, contrapõe objetivos algébricos e numéricos e a Matemática se "decimaliza". A distinção entre soluções exatas e aproximadas poderia ser incluída na prática escolar mais cedo do que usualmente se tem realizado. Em particular, os alunos deveriam usar o sinal de igualdade somente com o significado de exatamente igual, e se familiarizar com o emprego da simbologia de valor absoluto nas situações de aproximação. Veremos adiante que a procura de zeros de funções reais é um problema aue permite trabalhar com essas ideias. Inicialmente, vamos enunciar uma definição que será empregada no restante do texto e dar alguns exemplos ilustrativos. Definição: Dizemos que um número real   a   é uma aproximação do número real   r,   com erro menor que   E,   se | a r | < E, ou seja, se, na reta numérica, a distância entre   a e r   for menor do que   E. Vejamos alguns exemplos: 1. O número  a = 2,146  é uma aproximação de  r = 2,15  com erro menor do que  0,01,  pois  | a r | = | 2,146 2,15 | = 0,004 < 0,01. 2. Se r pertence ao intervalo (1,32; 1,58), podemos dizer que 1,33 é uma aproximação de r com erro menor do que 0,26, pois |1,33 r | < |1,58  1,32| = 0,26   De fato, todo real no intervalo considerado é uma aproximação de  r  com erro menor do que  0,26. 3. Se   r   pertence ao intervalo   (1,32;   1,58),   podemos dizer que' seu ponto médio,    1,45,   é uma aproximação de   r   com erro menor do que  0,13,  pois 4. Se r pertence ao intervalo (3,55; 3,56), podemos dizer que 3,55 é uma aproximação de r com erro menor do que 0,01. De fato, todo real no intervalo considerado é uma aproximação de   r   com erro menor do que  0,01. Vamos agora apresentar dois problemas, que podem ser resolvidos com o apoio de calculadoras gráficas ou softwares gráficos. Essas ferramentas desenham gráficos de funções restritos a regiões bem definidas do plano cartesiano; essas regiões são comumente denominadas janelas gráficas. Todas as figuras deste texto foram geradas utilizando o software MPP (Mathematics Plotting Package - V3.49), um programa de domínio público desenvolvido pela Academia Naval dos Estados Unidos. [4]        Problema 1 Determine uma aproximação do maior zero da função f(x) = x3 2x2 13x 4 com erro menor do que   10-4. A partir do gráfico da função na "janela" [4, 6] x [35, 10] (Figura 1), vemos que o maior zero da função pertence ao intervalo [4, 5]. Denotemos esse zero por   r. Examinando o gráfico da função na "janela"  [4, 5] x [—10, 10]  (Figura 2), onde o intervalo  [4, 5] está dividido em subintervalos de comprimento 0,1, vemos que r pertence ao intervalo (4,8; 4,9). Podemos concluir, então, que | 4,8 r | < 0,1, ou seja, que 4,8 é uma aproximação de   r   com erro menor do que   0,1. Agora, olhando o gráfico da mesma função na "janela" [4,8; 4,9] x [ 1, 1] (Figura 3), onde o intervalo [4,8; 4,9] está dividido em subintervalos de comprimento 0,01, podemos concluir que r está bem próximo de 4,85; mas não sabemos se ligeiramente à direita ou à esquerda.