A RPM 25 (p. 56), ao responder a um leitor de São José do Rio Preto, referiu-se ao quociente e resto de unia divisão, assunto em que nossos alunos encontram muita dificuldade.

A divisão apresenta, no contexto matemático, aspectos mais complicados do que suas irmãs, a adição, subtração e multiplicação, tanto do ponto de vista operacional quanto conceituai. Com efeito, na divisão, a "conta" é mais difícil e as respostas, que podem envolver quociente e resto, podem ainda ser diferentes para os mesmos dados numéricos de partida.

Citamos aqui algumas das dificuldades que temos detectado em nossa convivência em sala de aula, pois acreditamos que seu reconhecimento por parte do professor vá auxiliá-lo na interação com o aprendiz da divisão.

Começando pela "conta": o algoritmo da divisão envolve avaliações, conjecturas e tentativas. Nos algoritmos da adição, subtração e multiplicação, cada passo define o algarismo a ser escrito, e o uso da borracha nesses cálculos só se faz necessário se houver algum engano. Ao contrário, na divisão, antes que se escreva um algarismo do quociente, é preciso fazer uma avaliação, escolher um número que se considere provável e fazer uma tentativa que nem sempre é bem-sucedida, o que exige que se apague o dígito escrito para que se faça nova tentativa, etc. Essas etapas pressupõem, certamente, um grau de maturidade do estudante muito maior do que aquelas dos algoritmos das três primeiras operações.

O problema, entretanto não é só esse, pois, entre números inteiros, é preciso ainda distinguir a divisão euclidiana, com quociente e resto, da divisão como operação inversa da multiplicação. A divisão euclidiana dá um quociente, que é um inteiro, e pode dar resto zero ou diferente de zero. Quando o resto na divisão euclidiana é 0, as duas operações coincidem: por exemplo, 8 2 = 4 e 4 x 2 = 8. Mas 7 2 dá 3 com resto de 3 x 2 não dá 7. Com efeito, é preciso acrescentar o resto para reproduzir o 7: 3 x 2 + 1 = 7. A divisão euclidiana entre dois inteiros é sempre possível, mas a divisão como inversa da multiplicação nem sempre; só quando o resto na divisão euclidiana for 0 e, nesses casos, os quocientes coincidem.

A extensão do campo numérico dos inteiros aos racionais torna a divisão como inversa da multiplicação sempre possível, mas nos casos de números inteiros com resto não nulo na divisão euclidiana, o quociente (inteiro) da divisão euclidiana não é o mesmo que o quociente (racional) da divisão como inversa da multiplicação. Neste ponto, existe uma diferença considerável entre a subtração e a divisão. A extensão dos números positivos aos números relativos torna a subtração (como inversa da adição) sempre possível e a extensão dos inteiros aos racionais torna sempre possível a divisão (como inversa da multiplicação). Acontece que quando se estende o campo numérico, a subtração mantém o resultado nos casos em que já era possível, enquanto a divisão estende a divisão euclidiana só nos casos de resto zero. O problema se torna maior do que é, porque na escola não se costuma usar o nome "euclidiana" quando se trabalha a primeira divisão entre os inteiros. De início, o aluno não é aleitado para a diferença entre elas e estranha que o quociente de 7 por 2, que antes era 3, agora seja 3,5. Será que, em outras séries, haverá uma nova resposta?

E o problema não termina aí. O aluno que já aprendeu a fazer o cálculo da divisão, que já sabe distinguir a divisão euclidiana da divisão como inversa da multiplicação, ainda vai se haver com quocientes muito longos ou mesmo intermináveis, as dízimas periódicas!

É preciso saber onde truncar o quociente, e este truncamento faz aparecer um resto, mesmo no universo dos racionais, e um novo componente, o erro de arredondamento. Muito provavelmente seja essa a paineira vez em que ele se depara com o problema de aproximações, erros de arredondamento e margem de erro.

Por exemplo, a divisão de 49 por 8, que no início (divisão euclidiana) dava 6 com resto 1, pode dar 6,1 se for num cálculo de média escolar em que se considere só uma casa decimal. Se se trata entre­tanto de dividir igualmente 49 reais por 8, o resultado será 6,12 com resto 0,04, isto é, a divisão tem como resultado 6 reais e 12 centavos, mas sobram 4 centavos. Se se trata de dividir 49 metros em 8 partes iguais, aí então é possível considerar cada parte com 6,125 metros e não haverá resto.

O modo uniforme de indicar o quociente (sem resto) entre dois in­teiros, sem que seja necessário distinguir casos, é através das frações: 49/8 é o número que multiplicado por 8 dá 49, do mesmo modo que 49/7 é o número que multiplicado por 7 dá 49 e 49/6 é o número que multiplicado por 6 dá 49, embora: 49/7 = 7 seja um inteiro, 49/8 = 6,125 um número racional com desenvolvimento decimal finito, com apenas três casas decimais, e 49/9 = 5,444.... uma dízima periódica que é um desenvolvimento decimal infinito. Esse fato, entretanto, não ajuda muito, pois nossos alunos têm muita dificuldade em considerar as frações como representantes de números e, além disso, nas atividades da vida cotidiana, os números em forma decimal são muito mais comuns do que as frações.

Dois instrumentos dos quais o professor pode lançar mão durante o trabalho com divisão, em vários níveis e de vários modos, são o cálculo mental e a calculadora.

Atividades que levam o aluno a calcular mentalmente preparam-no para fazer as avaliações e tomar as decisões no algoritmo da divisão. Hoje, com a popularidade das calculadoras, as divisões que precisam ser feitas à mão podem ser mais simples, mesmo assim exi­gem uma intimidade do aluno com a tabuada, e o cálculo mental em atividades lúdicas pode ser um caminho interessante, para que a criança aprenda a tabuada.

E a calculadora, não resolve todos os problemas de contas? Com efeito, achar quocientes entre números todos com menos de 8 dígitos é problema simples para uma calculadora. Mas o que se pode dizer dos restos?

Peça, por exemplo, ao seu aluno que calcule quociente e resto na divisão (euclidiana) de 62 000 por 512. Ele vai obter 121,09375. Para chegar ao quociente e resto inteiros, deverá considerar só a parte inteira do quociente. Calculando o produto de 121 por 512 e subtraindo o resultado de 62 000, obtém o resto 48, sendo 121 o quociente. Se, entretanto, o problema for dividir R$62.000,00 por 512, ele pode considerar o quociente como 121 reais e 9 centavos, e, ao efetuar o produto de 121,09 por 512 e subtrair de 62.000, vai obter R$1,92, ou seja, sobra 1 real e 92 centavos. Isto é, na divisão de 62.000 por 512, o quociente 121 deixa um resto igual a 48 e o quociente 121,09 deixa o resto igual a 1,92. Além disso, o quociente 121,09 é uma aproximação do quociente exato a menos de 0,01. Este pode ser um modo interessante de mostrar a diferença entre divisão no conjunto dos números inteiros e divisão no conjunto dos números racionais, de trabalhar com várias aproximações de um mesmo número e, além disso, mostrar que o uso da calculadora facilita os cálculos, mas tem lá suas limitações.