Enquanto a atenção do mundo se voltava para a copa mundial de futebol, realizada nos Estados Unidos, cerca de 400 jovens competiam em Hong Kong. Enquanto o Brasil corria atrás do tetracampeonato mundial de futebol, um grupo de 5 jovens brasileiros lutava por medalhas na Olimpíada Internacional de Matemática. Muitos brasileiros festejaram a conquista do tetra de futebol, enquanto poucos souberam que a equipe formada pelos 5 jovens brasileiros conseguiu duas medalhas de prata e três menções honrosas, numa competição que claramente favorece os países preocupados com a educação.

Nós, professores brasileiros envolvidos com a educação, particularmente preocupados com o ensino da Matemática, nunca perdemos a esperança. Mais que isso, temos razões e evidências que nos fazem otimistas com relação a esse assunto. Dissemos, em edições anteriores desta revista, que o Brasil tem obtido resultados expressivos na Olimpíada Internacional de Matemática, mesmo quando os comparamos com os obtidos por países do primeiro mundo. Este fato mostra o seguinte: quando orientado, o jovem interessado em Matemática pode produzir muito. Com certeza, o programa de Olimpíadas da SBM, concretizado pelo trabalho de algumas instituições de ensino oficiais e particulares brasileiras, tem sido o principal responsável pelos resultados notáveis alcançados pelo Brasil nas Olimpíadas de Matemática.

Em 1994, o Brasil participou de três Olimpíadas Internacionais de Matemática:

Participaram dessa Olimpíada, realizada em julho, os seguintes países: Argentina, Bolívia, Brasil, Paraguai, Peru e Uruguai.   O Brasil classificou-se como a segunda equipe com os seguintes resultados:

Arthur Ávila Cordeiro de Melo    —     medalha de prata

                      Eduardo Cabral     —    medalha de bronze

        Vítor Almeida dos Santos     —    medalha de bronze

                             Davi Araújo    —    medalha de bronze

A Argentina oferece um exemplo alentador. Naquele país há, atualmente, várias pessoas preocupadas com o ensino de Matemática e que viram seus trabalhos incentivados e apoiados por autoridades governamentais. Desenvolveram um trabalho bastante sério de preparação dos seus alunos. Nesse certame, a Argentina foi o país que obteve o maior número de pontos.

Novo lançamento: Problemas de Ias Olimpíadas Matemáticas dei Cono Sur (I.ª e IV. ª). Ver a resenha na seção Livros, p. 49.

Participaram 14 países, de 17 a 25 de setembro. O Brasil foi o país com o maior número de pontos. Cada país, com exceção de Cuba, Peru, Porto Rico e Venezuela, participou com 4 estudantes. Foram estes os resultados individuais da equipe brasileira:

               Pablo Emanuel     —    medalha de ouro

Douglas Vasconcelos Cancherini   —    medalha de ouro          

Reynaldo Penharrubia Fagundes     —    medalha de prata          

Paulo José Gomes Rodrigues     —    medalha de prata      

Pela primeira vez realizada no Brasil, a Olimpíada Ibero-americana, em Fortaleza, foi um sucesso. Na opinião dos professores que já haviam participado de Olimpíadas anteriores, essa foi uma das mais organizadas e agradáveis. Dentre as várias autoridades presentes na cerimónia de abertura, destacaram-se o presidente da SBM, Márcio Soares, o ministro da Educação e do Desporto, Murílio de Avellar Hingel, e o responsável pelo Programa de Olimpíadas da OEI, Juan Carlos Toscano Grimaldi.

O Brasil recebeu também a bela taça Porto Rico de incentivo aos países com o melhor progresso nas três últimas Olimpíadas Ibero-americanas. Vários noticiários de Fortaleza (jornais e TVs) mostraram os meninos de ouro e prata do Brasil erguendo a taça!

Participaram 69 países. Os Estados Unidos obtiveram o maior número de pontos. Cada país participou com 6 estudantes, com algumas exceções, como o Brasil, que só pôde levar 5 participantes. Os resultados obtidos pelo Brasil foram:

    Pablo Emanuel    —     medalha de prata

Reinaldo Penharrubia Fagundes     —     medalha de prata                       

Paulo José Gomes Rodrigues     —     menção honrosa                     

Marcondes França Júnior    —     menção honrosa              

Marcelo Mendes de Oliveira   —     menção honrosa                  

Obs.: A menção honrosa é outorgada aos estudantes que, não tendo obtido medalhas, conseguiram pontuação completa em algum problema.

Os estudantes puderam aprender muito nessa viagem. Afinal de contas Hong Kong traz muito da cultura chinesa e é uma cidade bastante interessante. Além disso, como costuma ocorrer nas IMO, puderam fazer amizade com jovens de diferentes partes do mundo.

De certa forma os brasileiros estiveram em destaque, pois afinal desenrolava-se a Copa do Mundo e, gostemos ou não, muita gente ouviu falar do Brasil por causa do futebol. O toque pitoresco dessa Olimpíada também ocorreu por conta do futebol. As provas são feitas em dois dias, com 3 questões discursivas por dia. Cada prova tem duração de 4 horas e meia e, na primeira meia hora de prova, é permitido aos participantes que formulem perguntas, por escrito, aos professores que compõem o júri internacional (líderes das equipes). As perguntas são lidas em voz alta nas quatro línguas oficiais da competição (neste ano, inglês, francês, russo e chinês) e decide-se em assembleia se se deve responder à pergunta do estudante e o que e como deve ser respondido (até palavras às vezes se discutem). A idéia é evitar que o participante deixe de fazer um problema por causa de alguma falha do enunciado ou porque desconhece algum termo; por outro lado, não pode ser favorecido com dicas sobre a resolução das questões. Pois bem. No primeiro dia de prova, nenhum brasileiro se manifestou. No segundo dia fizeram várias perguntas, sendo uma delas bastante singela: "Quanto foi o jogo?", perguntava o Pablo. E tivemos que responder, de acordo com as instruções do júri e sob aplausos:

"BRA 1   x   SWE 0" !

Esse fato foi relatado na cerimônia de encerramento pelo presidente do Advisory Board Ãke Samuelsson, provocando novos aplausos entusiásticos da enorme plateia presente (nessa altura, o Brasil já era tetracampeão).

A RPM recebeu correspondência para a divulgação das seguintes Olimpíadas:

•   I Olimpíada de Matemática da ETFG/UNED - Jataí
para alunos de 1° e 2° graus.
Inf.: Comissão de Olimpíada de Matemática
Escola Técnica Federal de Goiás - UNED
75800-000 Jataí, GO                      (Fone: 631-2541)

•   I Olimpíada Joseense de Matemática
para alunos de 1° e 2° graus.
Inf.:  Escola Técnica Prof. Everardo Passos
Av. Rio Branco, 882     Jd. Esplanada
12242-800 São José dos Campos, SP    Fone: 21-9144)

•   V Olimpíada de Matemática de Natal
para alunos de 1° e 2° graus.
Inf.:  Departamento de Matemática - CCE
Campus Universitário
59072-9770 Natal, RN

•  18.ª Olimpíada de Matemática do Estado de São Paulo
para alunos da 6.ª e 8.ª séries do 1.° grau e 2.ª série do 2.° grau.
Inf.: Academia de Ciências do Estado de São Paulo
Caixa Postal 64584
05497-970 São Paulo, SP         (Fone: 211-5106)

A RPM pede aos colegas interessados em receber informações e/ou questões das Olimpíadas acima que escrevam diretamente para os organizadores.

Participam dessa olimpíada, exclusivamente, estudantes do 1.° grau. Ela é realizada em duas fases: a primeira, com uma prova de testes, e a segunda, com 5 questões discursivas. Reproduzimos, a seguir, questões da prova da 1.ª fase.

1.  O valor de   4^{4 .} 9^{4 .} 4^{9 .} 9⁹   é igual a:

A)   13¹³                    B)   13³⁶                   C)  36¹³                 D)  36              E)   1296²⁶

2. Duas jarras iguais contêm misturas de álcool e água nas proporções de 3 : 7 na primeira jarra e 3:5 na segunda jarra. Juntando-se os conteúdos das duas jarras obteremos uma mistura de álcool e água na proporção de:

A)   9:35             B)   3 :5              C)   7 : 13            D)  21 : 35             E)  27 : 53 

3. Um retângulo é dividido em quatro retângulos por intermédio de dois segmentos paralelos aos seus lados. As áreas de três dos retângulos assim obtidos são mostradas na figura ao lado. Qual a área do quarto retângulo?

A)   10               B)   15            C)   20             D)   21             E)   25

4. Se o comprimento de um retângulo é aumentado de    20% aumentada de   50%,  então a sua área aumenta:

A)   120%               B)   110%             C)   100%                D)   80%                   E)   70%

5. Patrícia planejava multiplicar um número por 6, mas por distração dividiu-o por 6 e ao resultado pretendia somar 14 mas acabou subtraindo 14. Depois desses descuidos encontrou 16, mas se tivesse usado as operações corretamente teria encontrado um número:

A)   menor do que 400                              D)  entre 800 e 1000

B)   entre 400 e 600                                  E)   maior do que 1000

C)   entre 600 e 800

6. É bem conhecida a brincadeira na qual a "simplificação ilegal" dos 6's na fração  

7.  Augusto possui uma grande quantidade de 0's,   l's,  3's,  4's,  5's,  6's,  7's,  8's e 9's   mas ele dispõe de somente vinte e dois   2's. Até que página ele poderá numerar as páginas do seu novo livro?

A)  22                  D)   99                  C)   112                 D)   119                E)   199

8.  Cinco corredores,   P, Q, R, S, T   participam de uma maratona na qual   P vence  Q ,   P   vence   R,   Q   vence   S  e  T   termina a maratona depois de   P e antes de   Q.   Quem não pode ter terminado em terceiro lugar na maratona?

A)   P e Q         B)   P e R         C)   P c S         D)   P e T         E)   P, S e T

9.  Num ano não bissexto, qual o dia "do meio", isto é, aquele cujo número de dias anteriores a ele é igual ao número de dias posteriores a ele?

A)      1 de junho                    C) 30 de junho                    E) 2 de julho

B)      2 de junho                    D) 1 de julho

10.   Um equipamento eletrônico consiste de um visor e duas teclas  A e B. Ao  ligarmos o equipamento, aparece um zero no visor.   Apertando-se a tecla   A, o número que está no visor é aumentado de 1 unidade e, apertando-se a tecla  B,  o número que está no visor é multiplicado por dois.  Se x e y são, respectivamente, as menores quantidades de vezes que devemos apertar as teclas A e B   para obter o número  1994,  então   y x   é igual a:

A)   3                   B)   5                     C)   7                    D)  9                     E)   75

11.  Para os reais distintos    x e y,    seja    M(x,y)    o maior dentre os dois e seja  m(x,y)  o menor dentre os dois. Se   a < b < c < d < e,  então

M(M( a, m(b, c)), m( d, m(a, e) ))   é igual a:

A)  a                   B)   b                    C)  c                      D)  d                     E)  e

12.  Que número fica diietamente acima de 142 na seguinte disposição de números?

A)  99                  B)   119                C)   120                 D)   121                E)   122
 

13. O retângulo mostrado na figura possui comprimento AC = 32,  largura AE = 20  e  B e F são pontos médios de AC e AE respectivamente. A área do quadrilátero ABDF  é:

A)  320           B)  325            C)  330           D)  335            E)  340

14. De um reservatório cheio de água, retira-se a metade do seu conteúdo. A seguir, retira-se um terço do que restou e continua-se com esse processo: retira-se um quarto do que restou, na quarta retirada um quinto do que restou, etc. Após quantas retiradas ficamos com exatamente um décimo da quantidade original de água?

A)   6           B)   7              C)   8             D)  9              E)   10

15. Considere todos os números, maiores que 8, tais que quando divididos por 2, por 3, por 4, por 5, por 6, por 7, e por 8 deixam sempre resto igual a 1. A soma dos dois menores desses números é:

A)  842             B)  2 522             C)  3 362               D)  912            E)  2 532

16. Uma senhora possui três filhas em idade escolar. O produto da sua idade com as idades de suas 3 filhas é 16555. A diferença entre as idades de sua filha mais velha e da sua filha mais nova é:

A)  4                 B)   5                C)  6                D)  7                E)  8

17.  Um quadrado mágico multiplicativo é um quadrado tal que o produto dos números de cada linha, coluna ou diagonal é o mesmo. Se o quadrado da figura abaixo é preenchido com inteiros positivos de forma a obtermos um quadrado mágico multiplicativo, o valor de   x   é:

A)   2                     B)   4                      C)  5                     D)   16                    E)  25

18.   Quando   10⁹⁴ 94   é desenvolvido, a soma de seus algarismos é igual a:

A)   19                   B)   94                     C)  828                 D)  834                 E)  840

19.   Sejam  e   as raízes da equação x² 5x + 1 = 0.   Uma equação cujas raízes  são   ² e   ²  é:

A)  x² 23x + 1 = 0          C)  x² + 25x + 1 = 0            E)  x² 23x 1 = 0

B)  x² 21x + 1 = 0           D)  x² + 25x + 1 = 0

20.   São dados 4 pontos no espaço não pertencentes ao mesmo plano.  Quantos planos existem que são equidistantes desses 4 pontos?

A)   1                     B)  3                     C)  4                     D)  7                     E)  8
 

21.   Um tabuleiro de xadrez é formado por quadrados de lado igual a 1. Um cartão quadrado de lado   1,5 é colocado no tabuleiro de modo que ele cubra parte ou toda a área de cada um de  n  quadrados. O valor máximo possível de  n  é:

A)  4                    B)  5                     C)  9                     D)   10                    E)   12
 

22.   Uma muda de rosa vermelha custa R$3 e a muda de rosa amarela custa R$5. Um jardineiro deseja adquirir mudas de ambos os tipos (pelo menos uma de cada) e decide comprar um total de 13 mudas de modo que o número de mudas de rosas amarelas seja maior que o número de rosas vermelhas.  Uma quantia, em reais, que ele pode despender é:

A)  51                  B)  67                   C)  65                   D)  58                   E)  57
 

23.   O segmento  AB  é o diâmetro de um semicírculo de centro O. Um círculo de centro   P   é tangente a   AB   no ponto   O   e também ao semicírculo.  Outro círculo de centro Q   é tangente a   AB,   ao semicírculo e ao círculo de centro  P.    Sabendo que   OB = 1,   a medida do raio do círculo de centro em   Q   é  igual a:

A)   1/10               B)   1/8                 C)   1/6                 D)   1/5                E)   1/4
 

24.   De quantos modos distintos podem ser mostradas quatro chaves do tipo "liga-desliga" que estão alinhadas de modo que duas chaves adjacentes não estejam desligadas?

A)  8                    B)   10                     C)   12                     D)   14                    E)   16
 

25.   Quantos números   n   do conjunto   {1,2,3,...,100}   existem de tal forma que o algarismo das dezenas de  n²   seja um número impai?

A)   10                   B)  20                    C)  30                   D)  40                   E)  50