O autor deste trabalho tinha 14 anos quando me quis mostrá-lo, em 1987, mas não lhe dei na época a devida atenção.

Mais tarde, concordei em ouvi-lo e percebi logo que se trata da mais simples e menos artificial das deduções das fórmulas para as equações do terceiro e do quarto grau que conheço.

E claramente do interesse dos leitores da RPM tomar conhecimento destas demonstrações. Mas agora era o autor que relutava em publicá-las, alegando que já não tinham mais graça. Finalmente, porém, cedeu aos apelos e é com satisfação que trago esta pequena gema ao conhecimento do público.

Elon Lages Lima

Motivado pelo cálculo de expressões simétricas nas raízes de uma equação do 2.° grau em função dos coeficientes da equação, resolvi um dia calcular a expressão:

onde x₁  e x₂  são as raízes da equação  x² Sx + P = 0  (e portanto satisfazem  x₁+x₂ = S  e x₁x₂ = P). Isso leva aos seguintes cálculos:

Assim, para determinar   y   há que se resolver uma equação do 3° grau.

Ocorreu-me então o seguinte: Dada uma equação do terceiro grau é possível escrever suas raízes como soma de raízes cúbicas de raízes de uma equação do 2.° grau. Isso pode ser feito como a seguir:

Dada a equação   x³ + ax² + bx + c = 0,   procuramos uma substituição   x = y + t  que anule o coeficiente em  y²:

(y + t)³ + a(y + t)² + b(y + t) + c = 0     y³ + (3t + a) y² + . . . = 0 .

Fazemos   t = a/3   e caímos numa equação do tipo:

y³ + py + q = 0.

Determinamos números   P   e   S   tais que

de forma que se

x₁  e x₂   são raízes de     x² Sx + P = 0,     então

Feito isso, obtemos

donde,

satisfaz   y³ + py + q = 0.

Cada raiz cúbica pode assumir três valores complexos, mas a equação = p/3 diz que o produto das duas raízes deve ser p/3. Essa fórmula dá as três raízes de y³ + py + q = 0, que somadas a t = a/3  nos dão as três raízes de x³ + ax² + bx + c = 0.

Uma variação dessa técnica nos permite resolver equações do 4° grau.

Considere a equação do 3.° grau   x³ Sx² + S_dx P = 0  de raízes   x₁, x₂ e x₃,   que satisfazem:

ou seja,

Dada a equação x⁴ + ax³ + bx² + cx + d = 0,  fazemos uma substituição do tipo x = y + t e obtemos y⁴ + (4t + a) y³ + ^{. . .} = 0.  Tomando   t = a/4,   obtemos uma equação do tipo

sem termo em   y³.

Comparando com (*), tomamos      S,   P  e  S_d   tais que

Assim, resolvendo a equação

obtemos raízes  x₁,  x₂  e  x₃   tais que

Para obter as raízes de   x⁴ + ax³ + bx² + cx + d = 0,  basta diminuir  a / 4  das raízes de  y⁴ + k₁y² + k₂y + k₃ = 0.

a) Considere a equação  x³ 6x 40 = 0.   Para aplicar a fórmula que dá as raízes da equação do 3.° grau temos   p = 6   e   q = 40.

b) Seja  = cos 20°.   Como  cos3x = 4 cos³ x 3cosx,  temos:

cos 60° = 4 cos³ 20° 3 cos 20° =  4³ 3    

Aqui p = 3/4,  q = 1/8, e substituindo na fórmula obtemos as raízes de  x³(3/4) x(1/8) = 0 :

ou

que não diz nada de novo sobre cos 20°. Essa expressão não é lá muito satisfatória, pois usa números complexos para exprimir cos20°, que é real. Na verdade é possível provar que qualquer expressão por radicais de cos 20° tem que envolver números complexos *.

c) Considere a equação y⁴ 12y⁴ 16y 4 = 0.   Segundo o método utilizado para resolver equações do 4.° grau, temos:

k₁ = 12,   k₂ = 16  e  k₃ = 4.

Resolvendo a equação do 3.° grau:

temos:

As raízes de  y⁴ 12y² 16y 4 = 0  são:

(lembre-se da regra dos sinais: o produto deve ser sempre k₂/8,  no caso igual a  2).

___________
* Um teorema sobre solubilidade de equações polinomiais por radicais reais, Matemática Universitária, n.° 12, dezembro de 1990, do mesmo autor.

d) Considere a equação     x⁴ + 4x³ + 8x² 8x + 4 = 0.

Fazendo   x = y 1,   obtemos    y⁴ + 2y² 16y + 17 = 0. Temos, pois,   k₁ = 2,  k₂ = 16     e   k₃ = 17.

torna-se  x³ + x² 4x 4 = 0,   cujas raízes são  1, 2  e  2.

Assim, as raízes de   y⁴ + 2y² 16y +17 = 0   são

e, como   x = y 1,   as raízes de   x⁴ + 4x³ + 8x² 8x + 4 = 0 são

NR. Poucos dias antes da impressão deste número, a RPM recebeu uma carta do autor, pedindo que a seguinte nota fosse anexada ao artigo: "Recentemente, folheando o livro Elements of Algebra do Euler, descobri que o próprio Euler tinha desenvolvido essencialmente o mesmo método que o meu para resolver equações do 4.° grau (EULER, L. Elements of Álgebra, New York, Springer, c. 1972, Section IV, chap. XV, p. 282: Of a new method of resolving equations of the forth degree)".