Recebemos carta de uma diretora de escola, dando-nos conta de uma dúvida levantada por professores de Matemática da 5.ª série quanto à nomenclatura utilizada na multiplicação: em   3x4,   qual é o multiplicando e qual o multiplicador?

RPM: A multiplicação de números (naturais, inteiros, racionais ou reais) é comutativa, ou seja, tanto faz calcular 3 x4 quanto 4 x3. Daí a vantagem de chamar de fatores os números que se multiplicam, sem fazer distinção na ordem desses números. Acontece que no algoritmo da multiplicação o papel de cada um dos fatores é diferente, daí a necessidade de escolher um como multiplicando e outro como multiplicador. Quando se pretende, por exemplo, calcular à mão o produto 6 789 x 101, a ordem dos fatores pode facilitar ou complicar o cálculo. Mas é só na montagem do algoritmo que se estabelece a diferença. Ao escrevermos 101 x 6 789 ou 6789 x 101, não está fixado qual dos fatores será escolhido como multiplicando e qual deles será o multiplicador. Alunos diferentes podem mesmo fazer escolhas distintas, sem que isso represente erro. No cálculo do produto 508 x805, por exemplo, essa escolha é indiferente. Só uma observação a mais: ao descrever a introdução feita ao assunto, a colega apresenta alguns passos, em que o professor usa material e desenhos para ilustrar a multiplicação de números naturais como uma simplificação da adição de parcelas iguais. Nessa apresentação aparecem os termos subconjunto e conjuntos equipotentes. Esses termos podem ser usados entre nós, professores, mas usá-los com as crianças é inverter a ordem natural e histórica do desenvolvimento de tais conceitos. Lembramos aqui o artigo A carroça na frente dos bois (RPM 7, p. 32).

Escreve-nos a Professora Clélia Maria de Sousa de Oliveira, comunicando sua decisão, por motivos de ordem pessoal, de afastar-se da função de coordenadora do SPEC (Subprograma de Educação para Ciências), projeto do PADCT (Programa de Apoio ao Desenvolvimento Científico e Tecnológico) coordenado pela CAPES/MCT. Em carta de 21 de março de 1994, ela apresenta o novo coordenador, Professor Paulo Roberto Menezes Lima. Esse subprograma tem provido grande parte do sustento da RPM, desde seus primeiros números. Nesta época em que surgem tantas informações de malversação de dinheiro público, cabe uma nota de reconhecimento a esse programa, que vem localizando e apoiando equipes interessadas na melhoria do ensino de Ciências e Matemática em nosso país. Temos tido às vezes dificuldades na liberação de verbas, por falta delas, mas contamos sempre com a dedicação, eficiência e sugestões construtivas da coordenação do programa.

 

O leitor sugere

-   Interior e Exterior.

O colega Wyrken Paim da Costa, de Assis, SP, sugere que a RPM tenha mais números por ano, ainda que com menor número de páginas e, se possível, que seja distribuída em bancas. Pede ainda que o comité traga notícias do exterior, com inovações que estejam ocorrendo por lá, e do interior de São Paulo, com informações sobre cursos de aperfeiçoamento em Matemática.

RPM: Os quatro números por ano continuam sendo nossa meta, mas por ora temos problemas financeiros, e teríamos ainda aqueles ligados à estrutura administrativa e talvez mesmo falta de artigos. Quanto à publicação de informações, temos duas seções que não têm saído e que poderiam atender à solicitação do leitor: De olho no mundo e O que vai por aí. Colegas que coordenam cursos de aperfeiçoamento podem usar a seção O que vai por aí para divulgá-los. 0 problema é que precisa ser com grande antecedência. Quanto às inovações do exterior, temos colegas retornando de estágios em universidades estrangeiras e eles podem contar um pouco do que viram por lá e que interesse aos nossos leitores. Esperamos por essas notícias.

-   Novamente História da Matemática, a sala de aula e as séries do nível Fundamental.

O colega Jorge Melhado, de São Paulo, SP, conheceu a RPM há poucos meses e ficou entusiasmado com o fato de haver uma revista voltada exclusivamente ao processo de ensino-aprendizagem da Matemática. Sugere que sejam publicados mais artigos sobre a História da Matemática, em que sejam contadas vidas de grandes matemáticos, suas inspirações, suas motivações e aplicações de suas descobertas. Sugere ainda que haja mais detalhes dos assuntos e que estes sejam abordados numa linguagem mais fácil. A colega Iracilda Viana, de São José do Calçado, ES, teve uma surpresa quando encontrou a RPM na bibliografia do concurso para o Magistério em seu Estado. Na carta em que nos fala sobre isso, sugere a publicação de mais assuntos ligados à prática da sala de aula. E a colega Maria de Fátima da Silva Pereira, de Nova Friburgo, RJ, pede a inclusão de atividades relacionadas a assuntos da 5.ª a 8.ª séries, com sugestões de abordagem em sala de aula.

RPM: Professores e autores que nos lêem, escrevam a respeito! Cremos, entretanto, que são pouquíssimos os fatos históricos que caibam em artigos da Revista com descrição de possíveis motivações de grandes matemáticos. O entendimento de tais motivações exige que se exponha todo o contexto da época. Felizmente as editoras estão acordando para a necessidade de publicar livros de História da Matemática e alguns textos estão sendo traduzidos, onde, então, pode ser feita uma análise mais longa dos fatos e das circunstâncias em que eles se deram.

-  Vazamento de barris ... e de hipóteses.

Abílio José Cardoso, de São José dos Campos, SP, professor de Física que lê sempre a RPM de um colega professor de Matemática, faz algumas observações ao enunciado do probleminha sobre o escoamento de vinho (RPM 24, p. 52). Observa que, num vazamento, a vazão não é, em geral, constante, dependendo, por exemplo, da diferença de cotas entre a superfície livre e o local de escoamento. Essa idéia é intuitiva e pode ser observada no funcionamento de uma talha tradicional de água:

Ainda que o orifício seja muito estreito para que se possa pensar em gotas idênticas, ainda assim a freqüência de queda das gotas variaria com o nível do líquido. Sugere, então, que o enunciado do problema inclua a hipótese simplificadora de que a vazão seja suposta constante. De quebra, ainda sentiu falta da informação de que os dois barris estavam completamente cheios no início da contagem de tempo. Na condição de físico, lembra que, embora seja louvável a ideia de "vestir" um problema abstrato com uma "roupa" concreta, é necessário o devido cuidado para fornecer todas as informações. Pois para um aluno soa como "traição" ouvir o professor começar a resolução de um problema dizendo "devemos supor que...". Pior ainda seria o professor usar tais restrições implicitamente, sem declará-las.

RPM. Mais uma vez, agradecemos a atenção e observações tão pertinentes.

- Cosseno ou co-seno?

O colega Fernando Canevazzi, de Araçatuba, SP, corrige a RPM, que escreveu cosseno (RPM 23, p. 24 e seguintes) ao invés de co-seno. O colega se ampara no dicionário do Aurélio.

RPM: Se o colega for um pouquinho mais adiante no Aurélio, vai encontrar a palavra cosseno, como variante de co-seno. No entanto, na recém-editada Enciclopédia de Koogan e Houaiss, aparece somente a forma co-seno (seno do complemento de um ângulo), como prefere o colega. Coisas da nossa língua!

- Soluções para os desafios dos dominós

O colega André Luís Parreira, de São João Del-Rei, MG, envia uma solução para cada um dos desafios da RPM 24, p. 31, sem descartar a existência de outras.

Aqui vão elas:

- O Magicálculo

A colega Sônia, Marina do Valle, de Curitiba, PR, responde à questão da RPM 23, p. 34, da seguinte forma: Qualquer número de 3 dígitos acrescidos dos mesmos 3 dígitos, na mesma ordem, dá um número de 6 dígitos que é igual ao produto de 1001 pelo número inicial de 3 dígitos. Sendo 7 x 11 x 13 = 1001, o número de 6 dígitos dividido pelo produto   7x11x13   dá o número original de 3 dígitos.

Escreve-nos nossa colega Nilda Helena Mendes Evangelista Amora, de Nova Iguaçu, RJ, contando a descoberta feita por sua filhinha Natália, de 8 anos. Para construir a tabuada do 9, ela faz o seguinte: para calcular 5 x9, por exemplo, ela faz 5 1, obtendo o algarismo das dezenas, 4. O algarismo das unidades é o quanto falta deste para chegar a 9, ou seja 9    4=5, chegando ao produto 45. Com duas subtrações ela efetua a multiplicação. A colega conta que participou por cinco anos de um grupo de estudos matemáticos, o GEEMANI, de Nova Iguaçu, e sempre passou para a filhinha os ensinamentos matemáticos de modo a fazê-la descobrir por si própria o ponto de chegada. Ela considera que o interesse demonstrado pela sua filhinha pode servir como um incentivo a professores das séries iniciais para que procedam da mesma forma.

RPM: Com efeito, a Natália, aos 8 anos, descobriu nesses casos particulares, a identidade algébrica:

9x = (x 1) 10 + [9 (z 1)].

-    O aluno de Engenharia de Computação e Matemática da Universidade de Kansas, nos Estados Unidos, Marcelo de Castro Guimarães, escreve-nos de Lawrence, Kansas, EUA, contando que seu professor de Análise, conhecedor de espanhol, folheando uma RPM interessou-se pelos artigos, afirmando que não encontrava esse tipo de matéria interessante em livros comuns.   Marcelo resolveu, então, traduzir alguns artigos da RPM para o inglês e distribuir cópias entre seus professores de Matemática e Engenharia. Diz ele que foi um  "sucesso total":   todos os artigos traduzidos foram comentados em sala de aula.

-    A colega Jane Martins Duarte, de Astolfo Dutra, MG, afirma que usa a RPM para consultas, preparo de aulas, esclarecimento de dúvidas e atualização nos conteúdos.   Não conseguiu ainda receber a Revista (por quê?), mas usa a de uma colega.

-    Eduardo Grígolo, de Jundiaí, SP, pede que não deixemos de publicar a RPM, ainda que seja preciso provocar um "rebu" nacional, convocar uma "CPI" ...

-    O colega Victor Emanuel Corrêa Lima, do Rio de Janeiro, RJ, lê a RPM há doze anos, o que já se tornou um hábito.  Confirma as frases de apoio da página 3 da RPM 24.

RPM: A equipe que trabalha para que a Revista chegue às mãos do professor agradece estas e outras manifestações dos seus leitores. De nada adiantará todo o trabalho dessa equipe se a Revista não for realmente utilizada pelos leitores-professores.

O colega Marcos Samy Silva, de Curitiba, PR, chama a atenção, através do seguinte "problema", para a necessidade de trabalhar o estudo de escalas com nossos alunos: Na figura ao lado, calcule a tg 35°.

O aluno percebe que alguma coisa não vai bem quando compara o resultado tg35°=7/9=0,777. . . com o da tabela ou aquele obtido numa calculadora, tg 35°=0.7002.... Com efeito, se o estudante desenhar em escala um triângulo retângulo de catetos 7 e 9, vai encontrar um ângulo de aproximadamente 38° e não 35°, como foi sugerido no enunciado do problema.

RPM: De fato, as escalas estão sempre presentes em nossas atividades cotidianas, mas não têm sido muito trabalhadas em sala de aula.

O colega Nilton Miguel da Silva, de Duque de Caxias, RJ, pergunta se Cristo nasceu no ano 0 ou 1; pergunta também qual a necessidade do estudo de complemento, suplemento e replemento, e dos algarismos romanos.

RPM: O ano 1 da Era Cristã é presumivelmente o ano em que Cristo nasceu. Isso significa que não existiu o ano 0 e que Cristo faria 1999 anos no ano 2000. Quanto ao complemento, suplemento e replemento de um ângulo, são alguns nomes que podem facilitar enunciados, como, por exemplo, no Teorema de Tales em que se diz que ângulos colaterais são suplementares. Os exercícios que exigem cálculos algébricos neste capítulo têm o objetivo de trabalhar ao mesmo tempo tópicos de diferentes áreas. Cabe ao professor a dosagem das dificuldades a fim de não torná-los tão "terríveis"! Quanto aos algarismos romanos, eles continuam sendo usados com certa frequência: escrevemos, por exemplo, século XVI, capítulo IV, volume IX. Eles aparecem em monumentos, relógios, enfim, fazem parte da nossa cultura. Além disso, são um exemplo de um sistema de numeração com regras bem distintas daquelas do sistema que usamos. Há também o fato de não existir um sinal para o zero na numeração romana. A representação do zero teve sua origem na necessidade de indicar uma "casa" vazia no sistema posicionai e se deu séculos depois do início da escrita dos números. Isso talvez explique a dificuldade que alguns de nossos alunos têm de operar com o zero, mesmo em séries mais adiantadas.