- Um leitor de São José do Rio Preto, SP, nos faz a seguinte pergunta:  Como devemos explicar a um aluno da 8.ª série o que ocorre numa questão como esta: "Calcule o valor de   x   (x > 0) na divisão

RPM:   O esquema

pode ser interpretado como equivalente a  3,25 = x² + 1,   mas nada tem a ver com o quociente e resto da divisão euclidiana.

No conjunto dos números naturais, dados a e b, b 0, existe um único par de números, q e r, denominados, respectivamente, quociente e resto, tais que a = bq + r,   com   0 r < b.

Essa afirmação não é verdadeira no conjunto dos números racionais. Por exemplo, dados 3,25 e 1,5, existem infinitos pares  q e r  tais que 3,25 = l,5q + r, com  0 < r < 1,5:

No conjunto dos números racionais, a palavra quociente tem outro significado: dados os números racionais a e b, (b 0), existe um único racional q, tal que a = bq.   Esse número   q  é o quociente da divisão de  a   por  b.

Para obter esse número   q  podemos usar o algoritmo da divisão:

mas o quociente da divisão euclidiana no conjunto dos números naturais e o quociente da divisão no conjunto dos racionais podem não ser o mesmo número.

- Uma leitora de Minas Gerais nos pergunta como explicar a seguinte "igualdade":

RPM:   Na verdade, existem duas definições envolvidas no problema:

1.ª) A raiz quadrada de um número real, quando estamos trabalhando no conjunto dos números reais, e

2.ª) a raiz quadrada de um número complexo, quando estamos trabalhando no conjunto dos números complexos. A primeira definição é:

A raiz quadrada de um número real  a,  a 0,  é o número real  positivo  x,  tal que  x²=a.   Em símbolos:

A segunda definição é:

A raiz quadrada, de um número complexo z = a + bi  é o conjunto de todos os números complexos  c + di   tais que  (c + di)² = a + bi.

Por que definições diferentes?

No conjunto dos números reais, se a > 0, a equação x² = a tem duas raízes: uma é positiva e a outra é negativa, ficando fácil caracterizar uma delas, como é feito na definição, em  IR, de  .

Acontece que, no conjunto dos números complexos, não se pode falar em "positivo" ou "negativo". Na RPM 2, p. 9, na seção  Conceitos e controvérsias,  encontra-se a pergunta: "2+3i ou 3 + 2i: qual destes números é o maior?". A resposta (nenhum dos dois) contém uma clara demonstração do seguinte fato: O corpo dos números complexos não pode ser ordenado.

Assim, no conjunto dos números complexos, não existe o conceito de "positivo" ou "negativo" e torna-se conveniente definir como sendo o conjunto de números cujo quadrado é   z.