Por ocasião da redação desta secção, os trabalhos de preparação para as Olimpíadas Internacionais tornam-se mais intensos: é a época da definição das equipes que irão representar o Brasil nas várias competições de que participa em nível internacional.

O leitor que nos tem acompanhado deve lembrar-se do sistema utilizado pela Comissão de Olimpíadas para constituir suas equipes: a premiação na Olimpíada Brasileira de 93 (Júnior ou Sênior) é a condição necessária e a classificação obtida tem grande peso na avaliação final, que depende também do desempenho nas listas de exercícios enviadas periodicamente a todos os premiados, bem como da nota obtida na prova usualmente aplicada no final da preparação. Essa prova, evidentemente, é feita somente nas cidades que têm estudantes participando do processo de seleção. Neste ano, a prova foi realizada no dia 28 de maio em Campina Grande, Fortaleza, Juiz de Fora, Maceió, Rio de Janeiro, Salvador e São Paulo.

A prova, para ser resolvida em 4,5 horas, constou das 5 questões que apresentamos a seguir:

1. Sejam ABC D um quadrilátero inscritível, M o ortocentro de ABC e N o ortocentro de ABD. Prove que MNDC é um paralelogramo.

2. Sejam   a, b, c, d   números reais estritamente positivos.   Prove que

3. Em Pasárgada existem   N   cidades e  2N 1   estradas, sempre de mão única, ligando essas cidades; cada estrada liga apenas duas cidades.   Pasárgada é totalmente interligada por essas estradas, isto é, a partir de qualquer cidade é possível chegar a qualquer outra por uma sequência de estradas. Prove que existe alguma estrada que pode ser interditada de forma que Pasárgada continue totalmente interligada pelas estradas restantes.

4. Seja  A Z   com as seguintes propriedades:

(i) 0 A,

(ii) Se   n A,  então  3n A,  3n + 4 A  e  3n + 11 A. Prove que dado   k Z  existem   a, b G A  com   a b = k.

5.  Seja   P₁P₂P₃P₄P₅   um pentágono plano não entrecruzado que esteja totalmente contido entre a reta r passando por P₁   e P₅ e a reta  s  paralela a  r  passando por  P₃.   Seja  a > 0.   Prove que podemos escolher pontos  P₆ e  P₇  (no plano), com = a,    de forma que seja possível ladrilhar o plano com ladrilhos congruentes ao heptágono não entrecruzado   P₁P₂P₃P₄P₅P₆P₇.

Definidas as equipes (4 estudantes para a Cone Sul, 4 estudantes para a Ibero-Americana e 6 estudantes para a Internacional), inicia-se a parte mais difícil, ou seja, os arranjos para as viagens, incluindo, freqüentemente, as vicissitudes da obtenção de recursos para as passagens. Quando as verbas oficiais não são suficientes, os participantes procuram ajuda externa para poderem viajar. Mais de uma vez professores e estudantes pagaram suas próprias passagens; tem acontecido, com maior freqüência, de escolas particulares, institutos, fundações ou empresas pagarem as passagens de alguns estudantes e professores acompanhantes.

Temos dado bastante ênfase à Olimpíada Brasileira nesta secção. Chegou o momento de focalizarmos as olimpíadas regionais, visto que estas são igualmente importantes e, sob alguns aspectos, mais importantes ainda.   As regionais são mais adequadas às condições locais e algumas delas, como a carioca e a paulista, por exemplo, envolvem um número muito grande de participantes, muitas vezes maior do que na própria olimpíada nacional.

A Olimpíada de Matemática do Estado de São Paulo, organizada pela Academia de Ciências de São Paulo, é feita em três fases: a primeira é realizada pelas escolas participantes, que enviam, até julho, uma lista dos 5 estudantes que irão competir na próxima fase.

Em geral, em outubro, são realizadas as provas da segunda fase, que irão definir quais estudantes irão participar da prova final.

Tanto a prova da 2.ª fase quanto a prova final são elaboradas por uma Comissão Central, que prepara as questões com base num programa previamente divulgado entre as escolas participantes. Esse programa leva em conta o currículo oficial das escolas do Estado.

Na fase final são feitas duas classificações distintas: uma para as escolas particulares, outra para as escolas públicas. Os alunos classificados para a fase final recebem certificados de participação e os alunos premiados recebem livros, calculadoras e medalhas. Os alunos das escolas públicas, classificados nos primeiros lugares, oriundos de famílias carentes, podem ganhar prémios muito maiores: bolsas de estudos nas melhores escolas de São Paulo.

Em 1993, 74 escolas estaduais e 55 escolas particulares enviaram finalistas para a prova realizada em novembro. Na solenidade de entrega dos prémios, cerca de 800 estudantes, familiares e professores vibraram muito com a festa.

Nos últimos anos, têm participado da Olimpíada Paulista alunos da 6.ª e 8.ª séries do 1.° grau e alunos da 2.ª série do 2.° grau. Para que o leitor possa ter uma idéia do tipo de questões da fase final da olimpíada, escolhemos algumas questões propostas para alunos da 8.ª série em algumas dessas competições.

01. (1982) Em um barbante, unido pelas pontas, existem 12 nós igualmente espaçados. Escolhem-se três destes nós para vértices de um triângulo que será formado esticando-se o barbante entre os vértices escolhidos. O perímetro do triângulo é o comprimento do barbante.

a)     Quantos triângulos diferentes existem nestas condições ?

b)     Qual deles tem área máxima ? Qual é esta área máxima ?

02. (1983) Um número inteiro dado, de quatro algarismos, é tal que a soma dos quadrados dos algarismos das extremidades é igual a 130, enquanto a soma dos quadrados dos algarismos do meio é igual a 100. Além disso, subtraindo do número dado o número
formado invertendo-se a ordem dos algarismos, obtém-se a diferença 1818. Determine o número dado.

03.        (1983) A tela de um microcomputador apresenta números inteiros de 1 a 20 e está programado da seguinte maneira:

1   - no primeiro toque, aparecem todos os números,