110.  Mostre que a equação   x³ 6px² 2p³ = 0,   onde   p   é um número natural, não admite nenhuma raiz que seja um número natural.

(Proposto por Hamilton Guidorizi, SP)

111.  Considere o experimento que consiste em cinco lançamentos independentes de um dado perfeito. Determine a probabilidade de que o produto dos números observados seja múltiplo de 10.

112.  Na figura são dadas duas semiretas r e s, por O, e um ponto P.    Entre todos os triângulos OMN, com   M e N   variando em res, respectivamente, tais que P MN, determinar o de área mínima.

(Proposto por Cláudio Possani, SP.)

1.  Em um baralho comum, selecione as cartas de um mesmo naipe (por exemplo, as 13 cartas de ouros). Vire as cartas com a face para baixo e efetue as seguintes operações: a primeira carta de baixo é passada para cima e a segunda é virada na mesa. Repita essa operação sucessivamente até que todas as cartas sejam viradas na mesa. Como você deve arrumar as cartas inicialmente de modo que as cartas sejam viradas em ordem crescente: A, 2, 3,...,V,D,R?                             
(Sugerido por Bolivar Pereira, da Silva, SP.)
 

2.   Ao morrer, a idade de José era 1/31 do ano em que nasceu. Que  idade tinha José em 1900?

3.    Anteontem Sílvia tinha 18 anos. No ano que vem, ela vai fazer 21 anos. Que dia é hoje? Em que dia Sílvia faz anos?
(2 e 3 tirados da revista Mathematics Teacher, vol. 79, n. 3, 1986)
 

(Ver respostas na.seção "Questões de Concurso")

102. Seja P(x) = x³ + ax² + bx + c um polinômio com coeficientes inteiros. Suponha que a equação P(x) = 0 tem três raízes inteiras distintas. Mostre que a equação   P(x) 1 = 0   não admite nenhuma raiz inteira.

Solução:

Denotando por   r₁, r₂,  e  r3   as três raízes inteiras, distintas, de   P(x) = 0,  podemos escrever:

P(x) = (x r₁) (x r₂) (x r₃) = 1 .

Admitindo que a equação   P(x) 1 = 0   tem uma raiz inteira  xq,  segue-se que:

(x₀ r₁) (x₀ r₂) (x₀ r₃) = 1 .

Para que o produto de três números inteiros seja igual a   1   existem duas possibilidades:

1)          Os três números são iguais a   1.

2)          Dois desses números são iguais a  1   e o terceiro é igual   1.

Em qualquer dessas duas possibilidades pode-se concluir que a equação P(x) = 0  teria raízes iguais, o que contradiz a hipótese de que as três raízes são distintas. Segue-se, portanto, que a equação   P(x) 1 = 0   não pode ter raízes inteiras .
[Solução enviada por Trajano Pires de Nóbrega. Neto, S. José do Rio Preto, SP.]

103. Um múltiplo de 17 quando representado na base 2 tem exatamente 3 dígitos iguais a 1. Qual é o número mínimo de zeros que essa representação deverá conter?

Solução:

Suponha que para  m IN:

17 m = 2^a1 + 2^a2 + 2^a3        com        0 a₁ < a₂ < a₃ .

Temos

onde  q_i  e  r_i  são o quociente e resto da divisão de     por  17.   Estudando as possibilidades na tabela que dá o resto  r_n   da divisão de   2ⁿ   por   17:

obtemos a menor solução para   a₂ = 5, a₂ = 5   e   a₃ = 8.    Logo,   17 m = 2⁰ + 2⁵ + 2⁸,   cuja representação na base 2 tem seis zeros.
 

104. Determinar o raio do semicírculo no qual está inscrito um hexagono cujos seis lados são iguais e têm por comprimento  a > 0.

Solução:

No caso em que o hexagono inscrito no semicírculo de centro O e raio R tenha um lado AB contido no diâmetro, onde O é ponto médio de AB, podemos mostrar que R = a.  De fato, pela lei dos cossenos no triângulo   OBC:

Sabemos, por métodos elementares, que todo hexagono de lados iguais inscrito num semicírculo tem um lado AB contido no diâmetro, com O no interior de AB. E, por métodos não elementares, que existem hexágonos de lados iguais inscritos, de modo que   O   não é ponto médio de   AB  e, nestes casos, R a. Como estes casos não estão completamente estudados, esperamos novas sugestões dos leitores. Observamos que foram aceitas as soluções para o primeiro caso.

105. Sabendo-se que a função  f : IN IN   satisfaz a condição  f(n + 1) > f(f(n)) para todo   n IN,  provar que   f(n) = n.

Solução:

Vamos observar, inicialmente, que a função f atinge o seu valor mínimo para n = 1.

De fato, o conjunto {f(n)In IN} é um conjunto de números naturais e, portanto, tem um menor elemento.

Se k > 1, f(k) > f(f(k 1)) e, portanto, nenhum f(k), com k > 1, pode ser o mínimo do conjunto dos valores de f(n). O mesmo argumento mostra que   f(2)  é o mínimo do conjunto  { f(2),  f(3), ... }. Segue-se, então, que:

 f(l) <  f(2) <  f(3)< ... < f(n).                                             (A)

Como  f(k) 1   para todo  k,  segue-se de (A) que  f(n) n. Suponha que para algum   n   tenhamos   f(n) n.   Segue-se que  f(n) > n + 1 e de (A) vem, então, que   f(f(n)) f(n + 1),   o que contradiz a hipótese do problema. Conclui-se, então, que  f(n) = n  para todo  n IN .

Obs. A inclusão desse problema na RPM 23 foi sugerida pelo professor Ângelo Barone Netto. Faltou, no entanto, como ele bem observou, mencionar que o problema fizera parte da Olimpíada Internacional de 1977. Falha nossa. ... E parece que uma falha puxa outra. A RPM acabou publicando dois problemas com o número 105: o último da RPM 23 e o primeiro da RPM 24. Para manter a contagem dos problemas propostos, não haverá nenhum problema 109.