Augusto César Morgado
Rio de Janeiro, RJ

Para saber o dia da semana correspondente a uma data posterior a 1582, que é o ano da adoção, pelos países católicos, do calendário gregoriano, temos a fórmula:

Nessa fórmula,

-    o dia da semana é   d   (d = 0   para sábado, ... d = 6   para sexta-feira),

-    o dia do mês é  N,

-    o mês é  M   (M = 1   para março, ...,   M = 12  para fevereiro),

-    o ano é   100C + D   (isto é,   C   e   D   são, respectivamente, o quociente e o resto da divisão do ano por  100),

-     B = 1   para anos bissextos e  B = 0  para anos não bissextos,

-       é a congruência módulo 7 (isto é,  a b se, e só se,  a b é múltiplo de 7).

Assim, por exemplo, para o dia 15 de novembro de 1889 temos   N = 15,   M = 9,   C = 18, D = 89   e  B = 0.   Logo,

d 1 36 + 89 + 15 + 4 + 22 + +23 0 118 6 .

Portanto, a república brasileira foi proclamada em uma sexta-feira.

Para o dia 21 de abril de 1792 temos N = 21, M = 2, C = 17, D = 92  e   B = 1. Logo,

d l 34 + 92 + 4 + 23 + 5 0 91 0 e Tiradentes foi enforcado em um sábado.
 

Lembremos que anos bissextos são os divisíveis por 4 mas não por 100 e também os divisíveis por 400.

1) A fórmula para o dia 1° de março

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* A RPM recebeu, e continua recebendo artigos sobre calendários perpétuos, merecendo especial destaque os trabalhos de Hernani Tadeu da Silva. Leite e, um mais recente, de Paulo Argolo. Um dos objetivos do presente artigo é, por ora, esgotar o assunto.

Se não existissem anos bissextos, todo ano teria 365 = 7 x 52 + 1 dias e, como os dias da semana se repetem a cada 7 dias, a cada ano o 1.° de março cairia um dia após o dia da semana em que caiu no ano anterior. Tomando ano de 1600 como referência (o fato de 1600 ser múltiplo de 400 simplifica bastante as coisas) e representando por d₁₆₀₀ o dia da semana correspondente ao 1.° de março, teríamos

d d₁₆₀₀ + 100C + D 1600 d₁₆₀₀ + 2C + D 4                            (2)

Levando em consideração os anos bissextos e supondo que eles ocorressem a cada 4 anos, a cada 4 anos teríamos um 29 de fevereiro e o 1.° de março cairia um dia após o dia da semana em que cairia se não existissem anos bissextos. Teríamos então

de 400. Como os anos múltiplos de 100 que não são múltiplos de 400 não são bissextos, temos

 anos que foram contados indevidamente como bissextos na fórmula (3). Corrigindo, obtemos

que é a fórmula para o 1.° de março do ano   100C + D.

Para determinar  d₁₆₀₀  olhamos a folhinha e verificamos que 1.° de março de 1992 foi um domingo. A fórmula (4) nos dá:

1 d₁₆₀₀ 38 + 92 + 4 + 23,    donde,    d₁₆₀₀ 80 4.

Logo, a fórmula para o 1° de março do ano   100C + D  é:

2) A fórmula para o dia 1.° do mês M em um ano não bis­sexto.

Vejamos agora em que dia cai o 1.° do mês M do ano 100C + D, supondo que ele não seja bissexto.

Para isso basta determinar quantos dias há (módulo 7) de 1° de março até o 1° dia do mês M e adicionar o resultado ao lado direito de (5). Como março tem 31 = 4 x 7 + 3 dias, para abril devemos adicionar 3. Como abril tem 30 = 4 X 7 + 2 dias, para maio devemos adiconar 3 + 2 = 5 dias, etc. Para fevereiro, que tem 28 = 4 x 7 dias, subtraímos zero e para janeiro subtraímos 0 + 3 = 3 dias, pois 31 = 4 x 7 + 3.   Obtemos:
 

Logo, a correção que deve ser adicionada ao lado direito de (5) é precisamente

Obtemos então

que é a fórmula para o 1.° do mês  M do ano não bissexto  100C + D.

3)  A fórmula para o 1.° do mês   M   do ano   100C + D.

Em um ano bissexto, o 1.° de janeiro e o 1.° de fevereiro caem um dia antes, em relação ao 1.° de março, do que cairiam em um ano não bissexto. Portanto, corrigimos a fórmula (6) subtraindo 1 do lado direito para os meses de janeiro e fevereiro dos anos bissextos

é a fórmula para o 1.° do mês   M   do ano   100C + D.

4)  A fórmula para o dia   N   do mês   M   do ano   100C + D.

Basta adicionar  N 1  ao lado direito de (7) e obtemos (afinal!)

Referências Bibliográficas

A fórmula encontra-se em

[1]  Niven, I e Zuckerman, H. An introduction to the theory of numbers. 3.° edição. John Wiley and Sons Inc., 1972. (Existe tradução espanhola, Editora Limusa, 1976.)

     O porquê de anos bissextos encontra-se nas RPMs mencionadas no artigo anterior e Congruências encontram-se em [1] e

[2]   Dante, L. R. Restos, congruência e divisibilida.de, RPM 10.