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Os números complexos desempenham um papel sumamente importante nos mais diversos ramos da Matemática e, através destes, em muitas das aplicações a outras áreas do conhecimento. Em geral, o estudante se depara com eles, pela primeira vez, ainda no curso secundário e sua introdução é justificada pela necessidade de resolver equações de segundo grau com discriminante negativo. Isso cria uma falsa impressão, já que, historicamente, não foram as equações de segundo grau que levaram à introdução dos números complexos. Nestas notas analisaremos essa questão e alguns outros aspectos ligados ao desenvolvimento do assunto. 0 fato de que um número negativo não tem raiz quadrada parece ter sido sempre claro para os matemáticos que se depararam com a questão. As equações de segundo grau apareceram na Matemática já nas tabuletas de argila da Suméria, aproximadamente 1700 anos antes de Cristo e, ocasionalmente, levaram a radicais de números negativos; porém, não foram elas, em momento algum, que sugeriram o uso de números complexos. Em rigor, uma equação era vista como a formulação matemática de um problema concreto; assim, se no processo de resolução aparecia uma raiz quadrada de um número negativo, isso era interpretado apenas como uma indicação de que o problema originalmente proposto não tinha solução. Como veremos adiante, foram só as equações de terceiro grau que impuseram a necessidade de trabalhar com esses números. Vejamos inicialmente alguns antecedentes. Um primeiro exemplo desta atitude aparece na Arithmetica, de Diophanto. Aproximadamente no ano de 275 d.C. ele considera o seguinte problema: Um triângulo retângulo tem área igual a 7 e seu perímetro é de 12 unidades. Encontre o comprimento dos seus lados. Chamando de x e y o comprimento dos catetos desse triângulo, temos, na nossa notação atual:
Substituindo y em função de x, obtemos a equação:
Na verdade, o primeiro
registro de um radical de um número negativo é um pouco anterior: ele aparece na
Estereometria de Heron, matemático grego do período Alexandrino, publicada
aproximadamente em 75 d.C. Num cálculo sobre o desenho de uma pirâmide surge a
necessidade de avaliar Encontram-se novas referências à questão na Matemática indiana. Aproximadamente no ano de 850 d.C, o matemático indiano Mahavira afirma: . . . como na natureza das coisas um negativo não é um quadrado, ele não tem, portanto, raiz quadrada. Já no século XII o famoso matemático Bhaskara (1114-1185 aprox.) escreve: O quadrado de um afirmativo é afirmativo; e a raiz quadrada de um afirmativo é dupla: positiva e negativa. Não há raiz quadrada de um negativo; pois ele não é um quadrado.
Também na Matemática
européia
aparecem observações dessa natureza; Luca Paccioli, na sua Summa de
arithmetica,
geométrica, proportioni et proportionalita,
publicada em
O próprio Cardano se deparou com esse tipo de questões e, embora mantivesse a atitude dos seus contemporâneos, no sentido de entender que raízes de números negativos indicavam apenas a não-existência de soluções de um determinado problema, pelo menos em um caso ele deu um passo a mais. No Capítulo 37 do Ars Magna, ele considera o problema de dividir um segmento de comprimento 10 em duas partes cujo produto seja 40.
Se chamamos de x
o comprimento de uma das partes, a outra terá comprimento 10
Isso leva à equação x2
Em conseqüência, ele chama essas expressões de raízes sofísticas da equação e diz, a respeito delas, que são tão sutis quanto inúteis.
Raphael Bombelli (1526-1573) era um admirador da Ars Magna de Cardano, mas achava que seu estilo de exposição não era claro (ou, em suas próprias palavras, ma, nel dire fu oscuro). Decidiu, então, escrever um livro expondo os mesmos assuntos, mas de forma tal que um principiante pudesse estudá-los sem necessidade de nenhuma outra referência. Publicou l'Álgebra, em três volumes, em 1572, em Veneza, obra que viria a se tornar muito influente. No capítulo II dessa obra, ele estuda a resolução de equações de grau não superior a quatro. Em particular na página 294 e nas seguintes, ele considera a equação x3 = 15x+ 4. Ao aplicar a fórmula de Cardano para o cálculo de uma raiz, ele obtém:
Seguindo Cardano, ele também chama essa expressão de sofística, mas, por outro lado, ele percebe que x = 4 é, de fato, uma raiz da equação proposta. Assim, pela primeira vez, nos deparamos com uma situação em que, apesar de termos radicais de números negativos, existe verdadeiramente uma solução da equação proposta. É necessário, então, compreender o que está acontecendo.
Bombelli
concebe
então a possibilidade de que exista
uma
expressão
da forma
é uma solução da equação dada. Bombelli percebeu claramente a importância desse achado. Ele diz: Eu achei uma espécie de raiz cúbica muito diferente das outras, que aparece no capítulo sobre o cubo igual a uma quantidade e um número. ... A princípio, a coisa toda me pareceu mais baseada em sofismas que na verdade, mas eu procurei até que achei uma prova... . Isto pode parecer muito sofisticado mas, na realidade, eu tinha essa opinião, e não pude achar a demonstração por meio de linhas [i.e. geometricamente], assim, tratarei da multiplicação dando as regras para mais e menos.
Ele utiliza a
expressão piú di meno para se referir ao que nós denotaríamos como +
i
e meno di meno para Più via piú di meno fa più di meno, + . (+ i) = + i
Meno via più
di meno fa meno di meno,
Più via meno
di meno fa meno di meno, +
.
(
Meno via meno
di meno fa più di meno,
Più di meno
via più di meno fa meno, (+
i)
.
(+
i) =
Meno di meno
via più di meno fa più,
(
Meno di meno
via meno di meno fa meno.
(
E interessante
notar que Bombelli se deparava com a dificuldade adicional de não dispor de uma
boa notação. Ele utilizava p (plus) para indicar a soma; m (minus)
para a subtração; R (radix) para raiz quadrada e R3
para a raiz cúbica. Também não dispunha de parênteses; nos seus manuscritos
sublinhava expressões para indicar quais os termos afetados por um radical.
Assim, por exemplo, a expressão
Note que, como
não escrevia diretamente números negativos, ele
escreveu
Faremos aqui um pequeno resumo da evolução dos números complexos, para que o leitor tenha uma visão global da história do assunto. Começaremos listando alguns progressos na notação para depois nos ocuparmos da evolução dos conhecimentos.
Como observamos na seção anterior, a partir do trabalho de Bombelli, os números complexos começaram a ser utilizados devido a sua óbvia utilidade para resolver equações de terceiro grau mas, ao mesmo tempo, era claro que tais números não poderiam existir. A primeira tentativa de legitimação, via uma "interpretação geométrica", é devida a John Wallis (1616-1703), contemporâneo de Newton e professor na Universidade de Oxford. Em 1673 ele publicou um tratado intitulado Álgebra, em cujo capítulo LXVI discute a impossibilidade da existência de quantidades imaginárias e compara essa questão com a da existência de quantidades negativas *. Estas quantidades imaginárias (como são freqüentemente chamadas) surgem das supostas raízes de um quadrado negativo (quando aparecem) e se considera que implicam que o caso proposto é impossível.
E assim é, de
fato, no sentido estrito do que foi proposto. Pois não é possível que qualquer
número (negativo ou afirmativo), multiplicado por si mesmo, possa produzir (por
exemplo) Mas também é impossível que qualquer quantidade (embora não um suposto quadrado) possa ser negativa. Pois não é possível que qualquer magnitude possa ser menos que nada, ou qualquer número menor que nada. Porém, não é esta suposição (das quantidades negativas) nem inútil nem absurda, quando corretamente compreendida. E, embora para a simples notação algébrica representa uma quantidade menor do que nada, quando se trata de uma aplicação física, denota uma quantidade tão real como se o sinal fosse + ; mas interpretada no sentido contrário. Depois de considerar diversos exemplos de números negativos interpretados em termos de segmentos sobre uma reta orientada, ele tenta uma interpretação para as quantidades imaginárias:
____________
Suponhamos que
num local ganhamos do mar 30 acres, mas perdemos em outro local 20 acres: se
agora formos perguntados quantos acres ganhamos ao todo a resposta é 10 acres,
ou +10 (pois 30
Não podemos
dizer que é 40, nem Como era de se esperar, essa interpretação não teve uma grande acolhida entre seus contemporâneos e nenhuma repercussão posterior. Notemos que, até aqui, nada garante que raízes cúbicas - ou, em geral, raízes n-ésimas de complexos - sejam, de fato, complexos. Tal como assinala M. Kline [5, p. 595], no começo do século XVIII, a maioria dos matemáticos ainda acreditava que raízes de diferente ordem de números complexos levariam à introdução de diferentes tipos de complexos.
Jean Le Rond d'Alembert
(1717-1783)
foi encontrado abandonado na porta da igreja de St. Jean Le Rond, na noite de 16
de novembro de 1717, com cujo nome foi batizado e foi criado por pais adotivos.
Sua mãe, Madame de Tencin, era irmã de um cardeal e acompanhou sua vida a
distância, sem nunca reconhecê-lo oficialmente, e seu pai, o General Destouches,
lhe deixou uma quantia suficiente para cuidar da sua educação após sua morte em
1726. Após estudar Direito e Medicina, decidiu dedicar sua vida à Matemática.
Trabalhou em álgebra, cálculo e suas aplicações, equações diferenciais
ordinárias e parciais, funções de variável complexa, mecânica e dinâmica. Em
1747 publicou Refléxions sur Ia cause générale des vents, em que afirmou
que toda expressão construída algébricamente
a partir de um número
complexo (onde incluía também a extração de raízes) é da forma
D'Alembert foi amigo de Voltaire e colaborou com diversos artigos para a Enciclopédie, mas manteve nesta um discreto silêncio sobre os números complexos. Roger Cotes (1682-1716) foi um jovem professor no famoso Trinity College de Cambridge e, após sua prematura morte, dele disse Newton: Se Cotes tivesse vivido, teríamos aprendido alguma coisa. Em 1714 ele obteve um importante resultado, relacionado com a obtenção de raízes n-ésimas da unidade que, na notação moderna, poderíamos explicitar como:
Isso poderia ter levado à famosa "relação de Euler":
que, por sua vez, implica a "fórmula de De Moivre":
o que resolveria o problema de achar raízes. Porém, o caminho foi outro. Abraham De Moivre (1667-1754) nasceu na França, mas viveu na Inglaterra a partir dos dezoito anos, quando o Edito de Nantes, que protegia os huguenotes, foi revogado. Estudou Matemática sozinho, após ler os Principia de Newton, chegando a se tornar membro da Royal Society e das academias de Paris e Berlim. Seu trabalho versou fundamentalmente sobre trigonometria, probabilidade e cálculo de anuidades. Em 1722, utilizando fatos que já havia publicado em 1707, ele obteve um resultado que implicou a fórmula que leva seu nome, embora tenha se limitado a casos particulares e nunca tenha chegado a enunciar ou demonstrar a fórmula no caso geral.
Essa tarefa
coube a Leonhard Euler (1707-1754), considerado o mais prolífico
matemático de todos os tempos. Numa carta endereçada a Jean Bernoulli, datada de
18 de outubro de 1740,
Em 1748 ele redescobriu o resultado de Cotes, demonstrou a fórmula de De Moivre e estendeu sua validade para todo exponente n real. Com isso, a existência de raízes no campo complexo ficou definitivamente estabelecida.
Obviamente, Euler compreendia e utilizava muito bem os números complexos. O fato de ele próprio ter grandes dúvidas quanto a sua legitimidade ilustra claramente o status desse corpo numérico na época. Em Vollstándige Anleitung zur Álgebra, publicada primeiro em russo, em 1768-69, e depois em alemão, em 1770, que se tornou uma referência clássica nessa área nos dois séculos seguintes, Euler escreve: Uma vez que todos os números concebíveis são maiores do que 0, ou menores do que 0 ou iguais a 0, é claro que a raiz quadrada de um número negativo não pode ser incluída entre os números possíveis. Conseqüentemente, devemos dizer que estes são números impossíveis. E esta circunstância nos conduz a tais números, que por sua natureza são impossíveis, e que são chamados costumeiramente de imaginários, pois eles só existem na imaginação.
A representação
geométrica dos números complexos mediante pontos do plano foi decisiva para sua
aceitação. A possibilidade dessa representação era clara para vários autores,
como Cotes, De Moivre, Euler e Vandermonde; todos eles tentaram resolver a
equação
xn
O primeiro a formular uma tal interpretação foi um agrimensor norueguês chamado Caspar Wessel (1745-1818), um autodidata. Ele é autor de um artigo intitulado Sobre a representação analítica da direção: uma tentativa, que foi publicado em 1799 nas memórias da Real Academia da Dinamarca. Ali, escreveu:
Vamos designar por +1 a
unidade retilínea positiva, por +
Tal como fazemos hoje em dia, ele representa o complexo a + bi pelo vetor do plano com origem O - a origem do sistema de eixos coordenados - e com extremo no ponto P de coordenadas (a, b). Depois dá uma representação geométrica da soma de dois complexos a+bi e c + di, representando-os pelos vetores OP e OQ, respectivamente, e observando que a soma estará respresentada pela diagonal do paralelogramo construído sobre OP e OQ.
De forma análoga, o produto desses complexos estará representado por um vetor OR tal que o comprimento de OR é o produto dos comprimentos de OP e OQ, e o ângulo que OR forma com o eixo Ox é igual à soma dos ângulos formados por OP e OQ com esse eixo.
Uma representação
semelhante foi dada por Jean-Robert Ar-gand
(1768-1822),
um bibliotecário suíço, também autodidata, que em 1806 publicou um pequeno livro
intitulado Essai sur ia manière de représeníer les quantités
imaginaires
dans les constructions géométriques. Ele observa que se multiplicamos +1 por
i obtemos i e se multiplicamos esse resultado novamente por i
obtemos
A partir daqui, tal como Wessel, ele dá interpretações para números da forma a + bi e para as operações com complexos, aplicando seus resultados à demonstração de teoremas de álgebra, geometria e trigonometria. Esses trabalhos tiveram pouco ou nenhum efeito sobre os matemáticos da época; a memória de Wessel só foi notada quando publicada em tradução francesa em 1897, e o livro de Argand, embora causasse uma certa controvérsia, teve pouco impacto, talvez por ser a única contribuição de seu autor à Matemática. Quem verdadeiramente tornou a interpretação geométrica amplamente aceita foi Carl Friederich Gauss (1777-1855).
A julgar pelas suas
demonstrações do teorema fundamental da álgebra, ele já conhecia a interpretação
gráfica dos complexos em torno de 1815, embora escrevesse, numa carta de 1825,
que a verdadeira metafísica de O autor tem considerado há vários anos esta parte importante da Matemática sob um ponto de vista diferente, que permite conferir às quantidades imaginárias, como as negativas, uma existência objetiva. O significado intuitivo dos números complexos fica completamente estabelecido e não se precisa mais para admitir estas quantidades no domínio da aritmética.
Ele observa também que
se as unidades 1,
A observação de Gauss a respeito da existência, objetiva dos números complexos ilustra a visão da Matemática na época. Parece que o fato de esses números poderem ser representados geometricamente lhes dá essa existência. Em outras palavras, parece que, para os matemáticos daquele período, os entes geométricos tinham um tipo de realidade que faltava aos objetos da aritmética. Finalmente, a formalização completa dos números complexos como pares ordenados de números reais será desenvolvida por William Rowan Hamilton (1805-1865) em 1833, e ainda Agustin Cauchy (1789-1857) daria outro tipo de formalização em 1847.
Referências Bibliográficas [1] CAJORI, F. A History of Mathematical Notations. Chicago, Open Court, 1928-1929. [2] GREEN, D. R. The Historical Development of Complex Numbers. The Mathematics Gazette, 60, 412 (1976), 99-107. [3] SMITH, D. E. History of Mathematics, v. II. Boston, Ginn and Company, 1925. [4] SMITH, D. E. A Source Book in Mathematics. New York, McGraw-Hill, 1929. [5] KLINE, M. Mathematical Thought ftom Ancient to Modern Times. New York, Oxford Univ. Press, 1972.
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