Neste ano, o Brasil participou de 3 olimpíadas internacionais de Matemática: a 4.ª Olimpíada do Cone Sul, a 8.ª Olimpíada Ibero-americana e a 35.ª Olimpíada Internacional.
 

A novidade deste ano é que o Brasil foi sede da Olimpíada do Cone Sul, realizada em Petrópolis, de 25 de junho a 3 de julho. Os países participantes desta competição foram: Paraguai, Uruguai, Argentina e, naturalmente, o Brasil. Alguns outros países também foram convidados, mas, por motivos os mais diversos, deixaram de participar (na verdade, o motivo mais comum é a falta de dinheiro para pagar as passagens dos professores e estudantes, situação que o Brasil já experimentou por diversas vezes).

Os participantes foram unânimes em relação ao evento: foi ótimo. Estudantes e professores viveram uma semana bastante agitada, mas muito agradável. A organização estava impecável: a agenda foi cumprida rigorosamente e os problemas típicos em eventos dessa natureza foram resolvidos de forma a satisfazer a todos os participantes. O clima estava ótimo: tanto o clima físico, pois fazia um friozinho muito agradável, como o humano, pois a confraternização era total. Em certas olimpíadas, principalmente as internacionais, em que o número de países participantes é grande e maiores ainda são as diferenças de línguas e culturas, é comum o ajuntamento em blocos: o dos latino-americanos, por exemplo. Lá, em Petrópolis, todos eram amigos de todos e nossa tradicional rivalidade com a Argentina somente se manifestou na hora da competição. Temos certeza de que todo esse ambiente de cordialidade irá se repetir na Olimpíada Ibero-americana de 94, que vai ser realizada no Ceará.

O pessoal que trabalhou nesta olimpíada, sob a coordenação da comissão organizadora (professores Eduardo Wagner, João Bosco Pitombeira e Carlos Gustavo Moreira), está de parabéns pelo excelente trabalho!

O estilo das provas da Cone Sul é parecido com o das provas da Ibero-americana, sendo, é claro, de nível adequado aos competidores, cujas idades não podem ultrapassar os 16 anos (durante o ano em que ocorre a competição). Para que o leitor possa ter uma ideia do nível exigido, apresentamos, a seguir, a prova aplicada no primeiro dia (são dois dias de prova):

01.  Estando algumas pilhas de discos sobre uma mesa, um movimento admissível é escolher uma pilha, descartar um de seus discos e dividir o que restou da pilha em duas pilhas não vazias, não necessariamente iguais.

Inicialmente há sobre a mesa apenas uma pilha, e esta tem 1000 discos. De­termine se é possível, depois de alguma sucessão de movimentos admissíveis, chegar a uma situação onde cada pilha tenha exatamente 3 discos.

02.   Sejam três pontos A, B  e C pertencentes a uma circunferência de centro O tais que   < .    Seja   D   o ponto médio do arco   AC   que contém o ponto_ B.     Seja   K   o pé da perpendicular a   BC   por   D.     Prove que  AB + BK = KC.

03.  Determine o número máximo de elementos de  B {l,2,...,n},  tal que a,b B, a b, a+b não é um múltiplo de  a b.

O estudante tinha 4 horas para resolver esta prova.

Na Olimpíada Ibero-americana, no México, o Brasil saiu-se muito bem! Foram estes os resultados:

Eduardo Tengan: medalha de ouro,

Reinaldo Penharrubia Fagundes e Felipe Bonfim Ferreira: medalhas de prata,

Pablo Emanoel: medalha de bronze.

Desta Olimpíada podem participar estudantes com até 18 anos, podendo estar cursando o 1.° ano da Universidade.

Para quem gosta de problemas mais desafiantes, aqui vai a prova do primeiro dia da 8.ª Olimpíada Ibero-americana de Matemática:

1.    Um número natural é dito capicua se quando escrito em notação decimal pode ser lido de igual forma tanto da esquerda para a direita como da direita para a esquerda, por exemplo: 8, 23432, 6446. Sejam X\ < Xi < ... < Xj < £j₊i < ... todoB os números capicuas. Para cada i seja y< = Zj+i— x<.   Quantos números primos distintos tem o conjunto {3/1,3/2,3/3,...}?

2.    Demonstre que para qualquer polígono convexo de área 1 existe um paralelogramo de área 2 que o contém.

3.     Seja  IN* = {1,2,3,...}.   Ache todas as funções   f : IN* IN*   tais que:

i)  Se  x < y  então  f(x) < f(y).
ii)  f(y f(x)) = x² f(xy),  para todos os  x,y IN*.
 

Da 35.ª Olimpíada Internacional de Matemática, realizada em Istambul, Turquia, participaram os seguintes estudantes brasileiros: Pablo Emanoel, RJ, Douglas Vasconcelos Cancherini, SP, Reinaldo Penharrubia Fagundes, SP, Daniel Augusto Turolla Vanzella, SP, Felipe Bonfim Ferreira, CE, e Paulo José Bonfim G. Rodrigues, CE. Obtivemos uma medalha de bronze (Pablo Emanoel) e duas menções honrosas (Reinaldo e Felipe).

As menções honrosas são outorgadas aos estudantes que conseguirem resolver pelo menos uma das seis questões propostas integralmente.

Observando o resultado acima, pode parecer modesto o resultado alcançado por nossa equipe. Considerando que 73 países participaram deste embate e que muitos deles, do chamado primeiro mundo ou do antigo bloco socialista, têm uma tradição sobejamente conhecida na educação, até que o Brasil não está mal. Países como Cuba, Bielo-Rússia, Holanda, Suíça, Argentina tiveram resultados menos satisfatórios. O leitor que nos tem acompanhado deve recordar-se que o Brasil, com uma freqüência razoável, tem obtido resultados surpreendentes na Olimpíada Internacional de Matemática. Isso se deve à dedicação e talento dos jovens que têm-se interessado pelas olimpíadas, bem como aos professores que, às vezes lutando contra a maré, têm-se dedicado a orientá-los. A Comissão de Olimpíadas da SBM tem feito o que é possível para ajudar esses professores, o que não tem sido muito. Algumas instituições privadas de ensino, felizmente, têm apoiado os programas de preparo para as olimpíadas. Não há como negar que esses programas têm ajudado imensamente a melhorar o rendimento dos nossos estudantes, mas estão muito longe, ainda, dos programas desenvolvidos nos países que têm liderado esta competição.

Esta olimpíada apresentou este ano as mesmas características da anterior: duas versões, júnior e sênior, cada uma delas dividida em duas fases (v. RPM 22, p. 52). A segunda fase realizou-se nos dias 23 e 24 de outubro, em várias cidades do Brasil.

[NR. É impossível, atualmente, publicar na RPM todas as questões que têm caído nas olimpíadas. O que a RPM pode fazer, no caso da 15. Olimpíada Brasileira, é enviar ao leitor interessado uma cópia de todas as questões propostas. Para tanto o leitor deverá escrever para esta seção, enviar um envelope auto-endereçado e anexar um cheque que, segundo seus cálculos, cubra, na ocasião, as despesas do correio e a xerox de 6 páginas.]
 

A RPM recebeu as questões da IV Olimpíada de Matemática de Natal, realizada em 12/06/93. Foram duas provas distintas para o 1.° e 2.° graus. Já no ano passado havíamos recebido as questões da III Olimpíada de Natal. Maiores informações podem ser obtidas junto ao Departamento de Matemática da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal, RN.

Recebemos também as questões da fase final da 17.ª Olimpíada de Matemática do Estado de São Paulo. Foram três provas distintas para alunos da 6.ª e 8.ª séries do 1.° grau e 2.ª série do 2.° grau. Informações: ACIESP, Caixa Postal 64584, CEP 05497-970, São Paulo, SP.

Foi nos pedido a divulgação da 1.ª Olimpíada Riograndina de Matemática que se realizou em dezembro de 1993 e foi precedida por curso preparatório. A organização coube à Fundação Universidade do Rio Grande, Caixa Postal 474, Rio Grande, RS.