Flávio Wagner Rodrigues IME-USP Soluções e Sugestões: RPM - Problemas Caixa Postal 20570 01452-990 São Paulo, SP Problemas 105.  Um professor de Probabilidade propôs a seus alunos o seguinte problema: "São dadas duas moedas, uma perfeita (probabilidade de cara igual a 1/2), e outra com duas caras.   Uma moeda é escolhida ao acaso e lançada 3 vezes. Qual é a probabilidade de que sejam obtidas 3 caras?" Um dos alunos, após efetuar alguns cálculos, concluiu, corretamente, que se fosse efetuado um único lançamento, a probabilidade de se obter uma cara seria igual a 3/4. Como foram efetuados três lançamentos independentes, a resposta seria (3/4)3 = 27/64. a)     O que está errado no raciocínio do aluno e qual é a resposta correta do problema? b)    Você seria capaz de reformular o problema de modo que o raciocínio e a resposta do aluno ficassem correias? 106.  Dado o número real   a 0,   qual é o número mínimo de multiplicações que precisamos realizar para calcularmos  a99? (Inspirado em uma questão proposta no vestibular da FUVEST.) 107.  Prove que num quadrilátero os pontos médios das diagonais e o ponto médio do segmento cujos extremos são os pontos de interseção de dois lados opostos são colineares. (Enviado por Cleunilson Bezer de Medeiros, DF.) 108. 17 matemáticos de todo o mundo trocam correspondência sobre 3 temas. Cada dupla de matemáticos se corresponde sobre um e apenas um tema. Mostre que existem pelo menos 3 matemáticos que se correspondem sobre o mesmo tema. (Olimpíadas Colombianas de Matemática)        ... e probleminhas 1.   Numa adega foram detectados dois barris com vazamento, sendo que ambos têm o mesmo diâmetro, mas um o dobro da altura do outro.  Foi observado que ambos começaram a vazar ao mesmo tempo e que uma hora e quinze minutos após o início do vazamento os dois barris estavam com a mesma quantidade de vinho. Ao fim. de duas horas de vazamento, o maior barril estava totalmente vazio.   Qual será o tempo necessário para que o menor barril fique totalmente vazio? (Enviado por João Tomaz do Amurai, SP.) 2.  Escolha um número qualquer de 4 dígitos distintos.   Escreva o maior número com esses 4 dígitos.  Escreva o menor.  Subtraia o menor do maior.   Repita o processo com a resposta obtida. Continue até chegar a um resultado interessante. (Tirado de Student Math Notes de maio de 1993, publicado pelo National Council of Teachers of Mathematics.) 3.  Um casal tem filhos e filhas.    Cada filho tem um número de irmãos igual ao número de irmãs.   Cada filha tem um número de irmãos igual ao dobro do número de irmãs. Quantos filhos e  filhas tem o casal? (Questão proposta em um exame vestibular da FUVEST.)   (Ver respostas na.seção "História e Histórias")       Soluções dos problemas propostos na RPM 22, 3.° quadrimestre, 1992 98. Seja P(x) um polinômio com coeficientes inteiros tal que P(0)=P(1)=1. Considere x0 um inteiro qualquer e defina  xn+1 = P(xn)  para todo  n = 0,  1,  2, . . . . Provar que, para   i j,   xi  e xj   são primos entre si. Solução: Seja  P(x) = a0xn+a1xn-1+ . . . +an-1x+an.   Da hipótese do problema segue-se que  an = 1   e que  a0+a1+ . . . +an-1. Dados  i  e  j, com   i j,   vamos supor, sem perda de generalidade,   i < j.   É fácil ver que o termo independente de   xi   na expressão acima é   a0 + ai +  . . . +an-1+1=1. Segue-se então que  x1+2 = qj+1 + 1,  onde   qj+1   é inteiro.  Por indução pode-se afirmar que  xj = qj-1xi + 1,   onde  qj-1   é inteiro.  Da relação entre  xi  e  xj   segue-se que  mdc(xi,xj)=1,  e, portanto, que  xi  e  xj   são primos entre si . (Adaptado das soluções enviadas por Paulo Sérgio Anderson e Geraldo Perlino Júnior.)   99. Calcular o valor da expressão  tg20° tg40° tg80°. Solução: 0 valor de   tg20° tg40° tg80°   é   .    Esse resultado pode ser obtido como um caso particular (para  x = 20°)   da identidade: tg3x = tgx . tg(60° x) . tg(60° + x) Para provar essa identidade basta lembrar que    tg60° =     e utilizar as fórmulas para as tangentes da soma e da diferença de dois arcos. De fato: Segue-se, então: Lembrando que obtemos facilmente que (Adaptado de soluções enviadas por vários leitores.)   100. Eu tenho um pasto circular de raio r e meu cavalo está preso a um mourão da cerca por meio de uma corda de comprimento x. Qual deve ser o comprimento x,   de maneira que o cavalo possa comer somente a metade do capim do pasto? Solução:   A parte do pasto que o cavalo alcança é a reunião do setor circular PCA e os dois segmentos circulares de cordas PA   e PC. Seja    a medida em radianos do ângulo APB.   Como o triângulo PAB é retângulo, ternos   z = 2 r cos . Seja S a área do setor circular PCA Seja   S'   a área do segmento circular de corda   PA. S' = área do setor OAP - área do triângulo OAP. Como a soma da área do setor  PCA  e duas vezes a área do segmento circular de corda  PA   deve ser a metade da área do pasto circular de raio   r,   temos: Donde, Uma resolução numérica, ou gráfica, de (3) mostra que   101. Num triângulo ABC cada lado é dividido, por dois pontos, em 3 partes congruentes. Unindo-se tais pontos ao vértice oposto, obtém-se um hexágono, como mostra a figura. Mostre que a área do hexágono é a décima parte da área do triângulo  ABC. Solução: Afirmamos que as áreas quadriculadas são iguais a S/6 e as hachuradas são iguais a 2S/15, onde S é a área do triângulo ABC. Donde a área do hexágono é  5 3 x 25/ 15 3 x 5/6 = 5/10. Verifiquemos, por exemplo, que a área do triângulo   FDC   é igual a  2S/15. Seja   y   a área do   FDC   e   y'   a área do   FBD'.   Verifiquemos também que a área do   CEG  é igual a  S/6. (Solução enviada por Edson Roberto Abe, SP.)   O colega C. E. Harle observou que, mais geralmente, se P, Q, R são pontos médios de AB, AC e BC, respectivamente, e também pontos médios de UV, U'V  e  U"V",  respectivamente, então, a razão das áreas do ABC e do hexágono associado pode ser determinada somente a partir de   k.   Relação dos leitores que enviaram soluções dos problemas 98 a 101 da RPM 22 Amadeu C. de Almeida (RJ) - 99 José Bartolomeu de Carvalho (PE) - 99 Antonio Joaquim (MG) - 100 José João Rossetto (PR) - 100 Antonio Matos dos Santos (PR) - 99 José R. C. e Carneiro (SP) - 99 Carlos A. da S. Victor (RJ) - 99-100-101 Levi B. da Silva (PE) - 99-100-101 Cleunilson B. de Medeiros (DF) - 99-100 Marcelo de C. Guimarães (RJ) - 99-101 Edmilson G. Aleixo Jr. (RJ) - 99 Mário Luiz A. de Lima (RJ) - 99 Edson Roberto Abe (SP) - 99-101 Maurílio Machi (SP) - 99-100 Evandro de Freitas (RJ) - 99 Miguel de Carvalho Neves (RJ) - 99-101 Francisco C. Simão Jr. (MG) - 100 Milton de Lima Pinheiro (CE) - 99-101 Francisco Wilson Leão (RJ) - 99-101 Nerli Gomes Santana (RJ) - 99 Geraldo Botelho Lins (SP) - 99 Paulo S. Anderson (MT) - 98-100-101 Geraldo Perlino Jr. (SP) - de 98 a 101 Pedro Sérgio dos Santos (RN) - 99 Itagiba F. F. Cárdia (SP) - 99-100 Ricardo Klein HofFmann (RS) - 99 oão F. Barros (SP) - 99-100 Ricardo Rage Ferro (RJ) - 98-99-101 J João Linneu do A. Prado (SP) - 99-100 Ricardo Teixeira Gonçalves (SP) - 99 Jorge Luiz D. de Frias (RJ) - 101 Tsunediro Takahashi (SP) - 99 José Airton Carneiro (PA) - 99 Vicente Wilson M. Gaeta (RS) - 99