Concurso Público Para Provimento de Cargos de
Professor III (Matemática)

Em setembro de 1993 realizou-se, em São Paulo, um concurso público para o provimento de cargos de professor III. A prova constou de duas partes: a primeira com 75 questões objetivas e a segunda com 5 questões dissertativas. Na primeira parte, as 15 primeiras questões, sobre Educação, foram idênticas para todas as áreas. As questões 16 a 26 misturavam conteúdos de Matemática e Metodologia. De 27 em diante, as questões abrangeram somente tópicos de Matemática.

Abaixo reproduzimos as questões 25 e 26, bem como algumas questões do número 28 em diante. As questões dissertativas encontram-se na última página.

25.   De Morgan, nascido na primeira metade do século XIX, propôs o seguinte enigma relativo à sua idade: Eu tinha  x   anos no ano  x2. Quando propôs o enigma, a idade dele era:

A)     menos de 20 anos         C) entre 20 e 30 anos              E) entre 35 e 40 anos

B)      mais de 40 anos           D) entre 30 e 35 anos

26.   Os matemáticos ou filósofos abaixo referidos costumam estar presentes, de uma forma ou de outra, em textos didáticos de Matemática.

Arquimedes, Cantor, Descartes, Euclides, Fermat, Gauss, Hilbert, Lobachevski, Newton, Platão.

Representando-os pela primeira letra do nome acima, foi constituído o conjunto  abaixo descrito:

= {A, C, D, E, F, G, H, L, N, P}

Em   x    define-se uma relação   R   tal que, se um par   (X,Y)   pertence a R,   então isto significa que   "X   viveu antes de   Y ".

Qual dos pares abaixo NÃO PERTENCE a  R ?

A)  (P,F)         B)  (E,C)        C)  (A,H)       D)  (L,N)        E)  (D,G)


que é igual a  48/11.

Analogamente, a expressão   [5,2,1,3]   representa uma fração contínua que é

igual a:

A) 25/3               B) 31/4                C) 59/11                 D) 49/11                E) 11/4

30. Sabe-se que os números racionais podem ser representados por pontos de uma reta. Nessa representação,

A)  a reta resulta completamente preenchida, no sentido de que a cada ponto da reta corresponde um número racional e vice-versa.

B)   a reta resulta quase completamente preenchida, restando alguns poucos pontos "vazios" a serem preenchidos pelos números irracionais.

C)  a parte da reta preenchida pelos racionais corresponde à menor parte, restando a maior parte dos pontos para representar os números irracionais.

D)    a parte da reta preenchida com os racionais corresponde a 50% dos pontos, restando os outros   50%   para serem ocupados pelos irracionais.

E)   deve haver lugar não só para os números irracionais como também para os números complexos.
 

32. Certo dia, a relação entre as cotações de um grama de ouro e um dólar era de 1   para   12,   ou seja,   1 grama de ouro = 12 dólares.

A partir daí, houve um aumento de 20 % no preço do dólar e de 40 % no preço do grama de ouro. A nova relação entre as cotações do ouro e do dólar passou a ser de   1   para:

A)   24            B)   14            C)   12             D)  6               E)  4


34. O gráfico de uma função real passa pelos pontos (2;3), (4;4), (6;8) e (8;7). De acordo com o conceito de função, podemos concluir que este gráfico não passa pelo ponto:

A)  (1;1)              B)  (3;2)             C)  (3; 4)              D)  (6; 7)              E)  (7;8)


36. A função     f(x) = (x l) . (x 2) . (x 3) . (x 4)     é tal que:


 

38. Quantos são os pontos de interseção das curvas   y = x2   e   y = cos x ?

A)nenhum              B) um             C)   dois               D)  quatro               E) infinitos


40.  Na base   x,   o logaritmo de dois é um quarto. O valor de   x   é:


 42. Na figura, está o gráfico de uma função   f(x),  definida no intervalo  [1;4].   Se  g(x) = f(x 2),     então a soma g(l) + g(3) + g(5)   é igual a:

A) 1                  C) 1                    E) 3

B)  0                   E) 2

 

44. Sendo  x   um ângulo agudo tal que  tgx = /3,  o valor de  sen x   é:

 

O enunciado seguinte refere-se às questões 45 e 46.

Um quadrado de área 1 dm2 é utilizado para compor as peças de um TANGRAM, numeradas de 1 a 7, conforme mostra a figura.

45. A área da peça de número 2 é, em dm2, igual a

A) 1/16                     C) 1 / 7                        E) 1 / 2

B) l / 8                      D) 1 / 4

46. 0 perímetro da peça de número 5 é, em dm, igual a


 

50. Uma placa triangular será pintada de vermelho até a metade de sua altura e de azul da metade para cima. A espessura da camada de tinta será constante e igual nas duas partes. A quantidade de tinta vermelha necessária para a pintura está para a quantidade de tinta azul na razão de:

A)   4 : 1               B)   3: 1               C)   2: 1                 D)   1,5:1                 E)   1 : 1  


52. Os ângulos de um triângulo são proporcionais a   1, 1 e 4.    A razão entre o maior e o menor lado do triângulo é:

A)   4                  B)  3                C)                     D)  2                    E)   1,5


Se o raio for aumentado de    10%   e a altura for diminuída de   20%,    que alteração sofrerá o volume?

A)    nenhuma                                    D)  diminuirá de 1 %

B)   diminuirá de 10%                        E)   aumentará de 1 %

C)   diminuirá de 3,2%


58. Associe cada equação ao tipo de curva plana que ela representa:

A associação correta é:

A)     1-I, II-2, III-3, IV-4                        D)     I-2, II-1, III-4, IV-3

B)      I-1, II-5, III-2, IV-4                       E)     I-1, II-5, III-3, IV-4

C)     1-2, II-5, III-1, IV-3

60. A região do plano   Oxy,   determinada pelas relações 4 x2 + y2  9 e   x y x,     tem área igual a:

A)  /4               B)  /2                    C)   5/2                  D)   5/4                    E)   65/4


 62. Em Estatística, o desvio de cada valor observado é a diferença entre o valor e a média (aritmética) dos valores observados. A variância é a média dos quadrados dos desvios. A raiz quadrada positiva da variância é denominada desvio padrão. As idades dos 5 professores de Matemática de uma escola são 32, 35, 41, 43 e 49.   A média e o desvio padrão das idades são, respectivamente, iguais a:

A) 40   e   6                C) 40  e   10                 E) 41  e  8

B) 40   e   8                D) 41   e  5


64. Para uma seleção brasileira de futebol foram convocados 2 jogadores para cada uma das 11 posições. De quantas maneiras a seleção poderia ser escalada, respeitando-se a posição de cada jogador?

A)   112                    B)  211                 C)  22              D)  222                  E)   222


66. Numa urna há 6 bolas numeradas de 1 a 6. Extraindo-se sucessivamente as 6 bolas, qual a probabilidade de que a bola de número 6 saia antes de que a de número 1?

A)   1/2             B)   2/3              C)   3/4             D)  5/6               E)   1/6

 68. O polinômio     x10 + x 2     é divisível por:

A)   x 2                              C)   x                                   E)   x 1  

B)   x + 2                              D)  x+ 1

70. As raízes enésimas de um complexo   c   são as   n   soluções da equação   z n = c.  As três raízes cúbicas da unidade imaginária  i  apresentam soma igual a:

A)   0                  B)   1                  C)  3                   D)  i                    E)  3i

 72.  Se o par (, ) é solução da equação 2x + 3y = 4, então ( +1; +1) é solução de 2x+3y = m.   O valor de m que torna verdadeira esta afirmação é:

A)  4                     B)  6                      C)  9                      D)   12                     E)  36
 

74. Dobrando-se o valor de cada elemento de uma matriz   3 x 3,  o determinante:

A)   não se altera                       C)   quadruplica                         E)   octuplica

B)   dobra                                  D)   sextuplica

 

 

     MATEMÁTICA - 2.ª parte

1.ª Questão

Um vinho caseiro é vendido a 100 cruzeiros reais o litro, para compras de até 5 litros. Em compras maiores, os litros que excedem 5 são vendidos a 75 cruzeiros reais cada um. Chamando-se de  y o preço médio pago por litro em uma compra de  x   litros,

a)    calcule o valor de   y  para  x = 25;

b)    esboce o gráfico de   y  em função de   x.
 

2.ª Questão

ABC D é um trapézio retângulo. Os ângulos A e D são retos e as bases AB e DC medem 4 cm e 9 cm respectivamente. As diagonais AC e BD são perpendiculares.

a)    Mostre que os triângulos  ABD  e   DAC   são semelhantes.

b)    Calcule a área de   ABCD.
 

3.ª Questão

Dê exemplos de ou prove que não existem:

a)    dois números irracionais distintos cujo produto seja racional e cujo quociente seja também racional.

b)    dois números irracionais distintos cuja soma seja racional e cuja diferença seja também racional.
 

4.ª Questão

Tem-se uma distribuição de probabilidades em um espaço amostrai   S.   Sendo   A e   B   dois eventos de   S,  explique o que significa dizer-se que:

I)     A   e   B   são mutuamente exclusivos.

II)    A  e   B   são independentes.
 

5.ª Questão

Considere o texto abaixo, de autoria do psicanalista Cari Gustav JUNG. "A verdade é que a matemática pressupõe um tipo definido de constituição psicológica que não é de modo algum universal e que não pode ser adquirido. Para os que não possuem tal capacidade, a matemática torna-se meramente um assunto a ser memorizado."

a)  Identifique a idéia central do texto, traduzindo-a em uma frase.

b)  Você concorda com tal idéia? Justifique sucintamente sua concordância ou sua discordância.