José Carlos Putnoki, (o Jota), SP, telefonou para um editor da RPM, dizendo que havia ficado muito surpreso ao ver, na RPM 21, a demonstração do Teorema de Tales, usando áreas. Ele, como muitos outros professores, sabia que o Teorema de Tales era um teorema "delicado" e não podia acreditar que houvesse uma demonstração tão simples. Examinando a demonstração, logo encontrou o "erro": no cálculo da área do triângulo AB'C', o autor usava como base, uma vez, o lado AB' e, outra vez, o lado AC. Mas que a área de um triângulo independe do lado considerado decorre da semelhança de triângulos e, portanto, do Teorema de Tales.

Conclusão: a demonstração usava a tese. Estava "furada".

Poucos dias depois, Jota telefonou novamente. Disse que após ter descoberto o "erro" ainda ficara insatisfeito. A RPM deixaria passar um erro desses?

Resolveu consultar alguns livros de Geometria (Euciides, Hadamard, Moise (o Advanced)) e logo viu que há outras maneiras de demonstrar que a área de um triângulo é o semiproduto de qualquer lado pela respectiva altura, sem usar semelhança, ou seja, Tales. Observou, porém, que todas as demonstrações decorriam de resultados anteriores e que, em algum desses resultados, sempre aparecia o problema "delicado" dos segmentos incomensuráveis.

Tendo-se convencido de que a demonstração feita na RPM estava correta, restou uma reclamação: A RPM devia ter alertado o leitor que as coisas não eram tão simples assim: o problema "delicado" apenas tinha sido empurrado para outro lugar.

RPM: Com a palavra o autor do artigo, E. Wagner:

Jota tem razão. Na construção da Geometria Plana, em algum lugar há um nó. Em algum lugar precisamos demonstrar que uma afirmativa válida para números naturais vale também para reais. Nos livros antigos esta dificuldade aparecia, pela primeira vez, justamente no Teorema de Tales. Provar que f = y é fácil quando supomos que a e b são comensuráveis, ou seja, quando  a  e  b podem ser medidos por números naturais, com uma unidade convenientemente escolhida. Porém, quando   a  e   b  são reais quaisquer, a situação se complica.

Este é o nó a que me refiro acima.   A existência de algum nó desse tipo na construção da Geometria Plana é inevitável.  Felizmente, podemos mudar de lugar essa dificuldade.

Se demonstrarmos, por exemplo, o seguinte teorema:

Para todo real positivo a, a área de um quadrado de lado a   é a², toda a Geometria pode ser construída sem necessidade de nenhuma outra "passagem ao limite". Repare que é muito fácil provar (e nas escolas não se costuma ir além) que a área de um quadrado de lado a é a², quando a é racional. Entretanto, não é claro que a área de um quadrado de lado     seja   .

Outro teorema que resolve todos os inconvenientes é o seguinte:

Se f : IR IR  é crescente e  f(n ^. x) = n ^. f(x)  para todo natural  n, então f(c ^. x) = c ^. f(x) para todo real c (RPM 9, p. 27).

Este teorema é realmente o âmago da questão. Acho, entretanto, que sua demonstração não tem cabimento nas turmas comuns do 2.°grau. Não vejo inconveniente em adotar este resultado (como axioma), que na verdade é bastante intuitivo, pois, no fundo, define as grandezas proporcionais. A partir daí, podemos transitar em terreno sólido seja qual for o caminho que se resolva seguir.

Afirmações do tipo "B decorre obrigatoriamente de A" são perigosas. No nosso caso, basta ler Medida e forma em Geometria de Elon Lages Lima, pp. 18-20. A livre escolha da base do triângulo (ou paralelogramo) para o cálculo da sua área aparece muito antes do Teorema de Tales, ou melhor, da semelhança de triângulos. Existe ainda outra forma de mostrar que o produto base x altura é constante nos triângulos. Mostra-se que esse produto é o mesmo nos paralelogramos a partir da versão plana do Princípio de Cavalieri.

A demonstração do Teorema de Tales na RPM 21 não tem, portanto, nenhuma incoerência intrínseca. Ela é fácil, conveniente e boa, e sua coerência depende, é claro, das ferramentas construídas anteriormente pelo professor.

A RPM 22, p.15, afirma que esta equação é do 2.° grau e um aluno do curso de graduação da UNICAMP escreve-nos, preocupado com "tão grave erro", afirmando que esta equação é do 3° grau pois se reduz a i³ + i² i = 0. Continua sua crítica, refutando o processo de resolução: "a menos de uma escolha cuidadosa do valor inicial, a raiz encontrada pelo método das aproximações sucessivas poderia ser uma raiz indesejável, a raiz nula, por exemplo, ou o processo poderia mesmo divergir".

RPM: Estritamente falando, define-se grau de uma equação quando ela é da forma P(x) = 0, em que P é um polinômio. Ora, a equação acima não está nesta forma, logo, qualquer referência a seu grau deve ser entendida num sentido amplo.

E quanto à aplicação do método das aproximações sucessivas? Em geral, a aplicação deste método exige mesmo certos cuidados. No presente caso, basta que se tome a primeira aproximação positiva para que esteja garantida a convergência para a única raiz estritamente positiva. Isto se deduz, por exemplo, do aspecto do gráfico das funções  

depois desta raiz. Isto já garante que a sequência das aproximações sucessivas será crescente se a primeira aproximação tomada for positiva e menor do que a raiz e será decrescente se a primeira aproximação for maior do que a raiz que interessa.

O colega José Geraldo dos Santos Rodrigues, de Cuiabá, MT, escreve-nos observando que o mesmo número em que a RPM afirma que a abreviação de quilómetro é km (RPM 22, p. 55) estampa na figura da primeira página uma distância escrita com K!

RPM: A página 55 está certa e os revisores - que somos nós mesmos - pedem desculpas pelo lapso. Nosso desenhista, a esta altura, já deve ter lido a RPM 22 e já deve ter aprendido que o certo é escrever 400 km.

Manoel H. C. Botelho, SP, estranhou o desenho da p. 55. Se fosse o de uma placa indicando velocidade máxima, ela diria 60 km/h. Se estivesse indicando uma distância, traria o nome de um local ou locais. Mas, a da p. 55..., será que existe uma igual?

RPM: Nunca vimos uma igual. Ainda bem que nossos leitores estão atentos!

 A respeito de carta publicada nesta seção na RPM 20, p. 62, o colega Davi de O. Fróis, GO, lembra que a RPM já publicou citações sem se referir a fontes, dando como exemplo a p. 45 da RPM 7.

RPM: O colega tem razão. Nós, entretanto, temos aprendido de lá a esta parte, e queremos nossa Revista cada vez servindo melhor ao leitor. Hoje, o professor brasileiro já dispõe, em português, de alguns bons livros de História da Matemática, podendo fundamentar suas citações em obras especializadas e confiáveis. Esperamos também que os autores de livros didáticos sigam o mesmo caminho, deixando bem clara a distinção entre fatos historicamente comprovados, fatos prováveis e lendas ou anedotas. Para isso, nada melhor do que a citação de fonte especializada!

É o que mostram as três soluções que nos foram enviadas, do problema resolvido na RPM 22, p. 59, todas por semelhança de triângulos. A primeira solução que chegou foi a de Ricardo Klein Hoffmann, de Porto Alegre, RS.

Sendo  HD  paralelo a  BC,  tem-se   AHD ~ ABC  e, fazendo PD = x,  vem  (9 r)/9 = (4r + x)/12. Mas EOD ~ ABC, pois D = C, como ângulos correspondentes, donde (r + x)/15 = r/9. Daí, eliminando x entre estas duas, vem a resposta r = 2.

Jorge Luiz Dias de Frias, do Rio de Janeiro, RJ, enviou a solução do professor Benjamin e a dele próprio.

A do professor Benjamin começa por verificar que o segmento que une C a O é bissetriz do ângulo C, donde: BS = 12k e AS = 15k. Como AS + BS = 9, vem k = 1/3 e BS = 4. Os triângulos OGC e SBC são semelhantes, donde   4/12 = r / (12 3r),  donde   r = 2.

A solução do professor Frias começa construindo o retângulo OEFH e considerando a semelhança entre os triângulos OGH e ABC, donde tira que r / GH = 9 /12. Da semelhança entre os triângulos HFC e ABC tira que r / HC = 9 /15. Como 3r + GH + HC = 12, dá também para concluir que  r = 2 .

O engenheiro Benedito Madeira Sobrinho, Diretor da Divisão de Estudos e Projetos do DERT do Estado do Ceará, ex-professor e ainda supervisor de Matemática em alguns colégios de cidades que visita por injunção funcional, ao contribuir para o Grupo Amigos da RPM, envia palavras de estímulo à equipe que publica a Revista, finalizando com o seguinte parágrafo: "Tenho usado muito a RPM como um farol a balizar novos horizontes neste desafio permanente que é ensinar, resolver problemas e vencer obstáculos matemáticos".

RPM: Nossa gratidão a este e a tantos outros leitores que nos escrevem com palavras de estímulo e contribuições em várias formas.

Vários são os leitores que sugerem que a RPM publique mais assuntos de aplicação da Matemática. Jussara Denise Quintal, de Paulínia, SP, pede uma seção com recursos que despertem o interesse e o gosto dos alunos pela matéria. O pai de estudante, Diobel Gomes Travessa (RPM 22, p. 58), desta vez fala dos muitos jogos oficiais no Brasil, em especial da recém-criada Tele-sena, que gostaria de ver analisada à luz da Teoria das Probabilidades. Oedih Kawata apresenta como aplicação das equações do segundo grau um problema de pagamento parcelado, que foi objeto de artigo na RPM 22 (sua carta é anterior à distribuição da RPM 22): "Uma loja vende um aparelho de som, cujo preço à vista é de 288 mil cruzeiros, em 2 prestações mensais iguais de 200 mil cada uma, vencendo a primeira um mês depois da compra. Qual é a taxa de juros embutida nesta transação?". E o autor do referido artigo (RPM 22, p. 13) apresenta uma equação de grau  n, que poderá ser resolvida pelo método de Newton (das aproximações sucessivas), que permite calcular a taxa de juros compostos de uma compra feita com pagamento parcelado, o primeiro deles ocorrendo um mês depois da compra: se   V  é o valor da compra à vista,  p  o valor de cada uma das  n  prestações,  i  a taxa de juros, k = V / p e a = 1 + i, vale a equação:   k aⁿ⁺¹ (k + 1) aⁿ + 1 = 0.

 

Vamos usar a calculadora?

O autor do artigo Pagamento Parcelado, Hideo Kumayama., sugere que o professor leve seus alunos a reduzirem, sempre que possível, o número de "toques", dando como exemplo um
RPM 22 p.14). Se to = 0,1 o cálculo de i_x numa calculadora - das mais simples, que ele chama de calculadora do feirante, mas que repita a operação indicada anteriormente ao toque da tecla < = > pode ser feito assim: < l >< >< l >< >< = >< = > < = > < M^- > < 1 > < + > < RM >< = >< >< 2 >< = >,   dando  0,1243426.

RPM: De fato, a calculadora já faz parte da vida da grande maioria de nossos estudantes e deve ser usada na escola. O aluno precisa, entretanto, saber a tabuada para lidar com operações entre números baixos, necessárias ao cálculo da ordem de grandeza, bem como levar em conta os arredondamentos.

O colega Paulo Argolo, do Rio de Janeiro, RJ, pediu a um dos editores da RPM uma prova para o resultado: "Se S é uma sequência determinada pela obtenção dos divisores de um número natural  n  através do dispositivo prático usual (na decomposição de n em fatores primos não havendo necessidade de se partir do menor para o maior fator, ou vice-versa, o essencial é que se esgote sucessivamente cada fator), então o produto de dois termos de S, equidistantes dos extremos, é igual a   n;  além disso, se  S  tem uma quantidade ímpar de termos, seu termo central será a raiz quadrada de n". Gostou tanto da resposta que sugere sua publicação em forma de artigo.

RPM: O leitor estaria interessado em vê-la publicada?