Legendre e o Postulado das Paralelas Geraldo Ávila IMEC-UNICAMP, Campinas, SP        1. Introdução Muita gente pensa que os matemáticos mais competentes sejam bastante seguros em suas atividades profissionais e não cometam erros. Isso é falso; matemáticos que se dedicam à pesquisa freqüentemente incorrem em erros, que ficam registrados em seus escritos e são mais tarde descobertos e corrigidos por eles mesmos ou por outros matemáticos, em novas publicações. Isso é muito natural, pois o progresso científico não segue uma trajetória retilínea, feita apenas de avanços. Ao contrário, o caminho das descobertas é tortuoso, cheio de acertos e desacertos; e o estudo da evolução das idéias, do desenrolar dos acontecimentos que levam às descobertas, é com freqüência rico em ensinamentos. O objetivo deste artigo é precisamente o de descrever um desses episódios, de que foi protagonista o eminente matemático francês Legendre e que encerra lições de grande valor pedagógico. 0 fato que vamos expor é uma bela tentativa de demonstração do chamado "postulado das paralelas". Por muitos anos Legendre publicou e republicou suas "demonstrações", sempre reparando erros anteriores, quando, na verdade, o que ele tentava demonstrar era indemonstrável! No entanto, acompanhar o seu raciocínio em uma dessas "demonstrações" é tarefa gratificante, tanto pela argúcia de seu gênio criador como pelas sábias lições que daí podemos tirar.        Quem foi Legendre   Adrien Maric Legendre (1752-1833) foi um ilustre matemático francês dos séculos XVIII e XIX. Embora não fosse tão rico, tinha recursos suficientes para dedicar-se ao estudo e à pesquisa sem ter de se preocupar com "ganhar a vida". Mas não deixou de ter empregos remunerados, pois ocupou vários cargos públicos, como professor, educador ou assessor científico. Fez parte, por exemplo, da comissão encarregada de propor um sistema racional de pesos e medidas, de cujo trabalho resultou o sistema métrico como o conhecemos hoje. Legendre produziu várias pesquisas de grande importância, em Matemática pura e aplicada. Assim é que seu nome está ligado tanto a questões de Astronomia, Mecânica e Física Matemática, como de Análise, Equações Diferenciais e Teoria dos Números. (Veja referência a ele na RPM 19, p. 21.) Além de ser um cientista de grande mérito, Legendre foi também um autêntico "professor", que se preocupava até mesmo com questões de ensino elementar. Neste domínio seu trabalho mais importante foi um livro chamado Eléments de Géometrie, publicado no final do século XVIII e que dominaria o ensino da Geometria por cerca de 100 anos. Esse livro ficou muito popular, pois era bem mais acessível aos estudantes que o antigo e difícil tratado original de Euclides. Tanto assim que o livro de Legendre, além de usado nas escolas francesas, foi traduzido em vários outros países, inclusive no Brasil, onde foi largamente usado, alcançando mais de 25 edições! (Há edições do livro de Legendre nas bibliotecas do ICM da USP/SC, da UnB e do IMPA.) As várias tentativas que Legendre fez para demonstrar o postulado das paralelas aparecem, de 1794 a 1833, sucessivamente, nas diversas edições de seu livro, acima referido. Em 1833, ano de sua morte, vem a lume também sua monografia Réftections sur differentes manieres de demontrer Ia théorie des parallèles ou le théorème sur Ia somme des troís angles du triangle.        Euclides e o postulado das paralelas Existem várias formulações equivalentes do postulado das paralelas, das quais daremos primeiro uma das mais simples e mais freqüentemente encontrada nos livros. Embora já fosse conhecida de Proclus (410-485 d.C.) na antiguidade, tornou-se divulgada nos tempos modernos por um livro escrito pelo matemático escocês John Playfair (1748-1819), de quem leva o nome.   Postulado de Playfair.  Por um ponto fora de uma reta não se pode traçar mais que uma reta paralela à reta dada.   O postulado das paralelas é também conhecido como "5.° postulado de Euclides", justamente por ocupar o último lugar no grupo de cinco postulados enunciados no livro Elementos de Euclides. Falemos um pouco dos Elementos de Euclides, escrito por volta do ano 300 a.C. Essa obra é uma coletânea de treze unidades ou capítulos, cada uma delas chamada "livro": Livro I, Livro II, Livro III, etc, até Livro XIII. Trata-se de uma das obras mais famosas na história da ciência, que reúne quase tudo o que se sabia de Matemática na época em que foi escrita, não somente de Geometria, mas também de Aritmética e Álgebra, embora a apresentação destas disciplinas também seja feita numa linguagem pesadamente geométrica. E foi muito usada nas escolas, até uns 200 anos atrás, aproximadamente. Esse livro faz uma apresentação admiravelmente bem-feita da Geometria, tudo muito organizado na roupagem da lógica. Os resultados aparecem como "proposições" (nós diríamos, hoje em dia, "teoremas"), cada uma das quais demonstrada com base nas precedentes. Assim, cada proposição depende de alguma ou várias das anteriores, de sorte que, para que o processo possa ter começo, é preciso formular algumas proposições iniciais, que ficam sem demonstração. Estas são os chamados "postulados"ou "axiomas". Euclides formula cinco postulados, os quatro primeiros dos quais, traduzidos e interpretados em nossa linguagem, podem ser assim enunciados: 1.          Por dois pontos passa uma reta e somente uma. 2.         A partir de qualquer ponto de uma dada reta é possível marcar um segmento de comprimento dado sobre a reta dada. 3.          É possível descrever um círculo de centro e raio dados. 4.         Todos os ângulos retos são iguais.      (Euclides define "ângulo reto"como sendo igual ao ângulo formado por duas retas que se cortam de maneira a formar quatro ângulos iguais.) Finalmente, o 5° postulado é assim enunciado por Euclides:   Postulado de Euclides. Se uma reta t corta duas outras r e s (todas num mesmo plano) de modo que um dos pares de ângulos colaterais internos tem soma inferior a dois ângulos retos, então as retas r e s, quando prolongadas suficientemente, se cortam do lado de t em que se encontram os referidos ângulos colaterais internos. Embora mais complicado que o postulado de Playfair, esse enunciado torna-se claro quando acompanhado de uma atenta observação da Fig. 1. De agora em diante indicaremos com (P) e (E) respectivamente os enunciados de Playfair e Euclides do postulado das paralelas. Provaremos que eles são equivalentes. Para isso necessitaremos das proposições 16, 17 e 27 de Euclides. Vamos enunciá-las e demonstrá-las.   Proposição 16 (teorema do ângulo externo). Todo ângulo externo de um triângulo é maior que qualquer dos dois ângulos internos não adjacentes (ao referido ângulo externo). Isso significa, com referência à Fig. 2, que > e > . Observe que não podemos escrever = + , que ainda não foi provado. Isso, aliás, é outra maneira de formular o postulado das paralelas, dada como (P3) adiante. Demonstração. No triângulo  ABC  (Fig. 3), seja  D o meio do segmento BC. Prolonguemos AD de um comprimento DE = AD (o que é possível pelo 2.° postulado). Os triângulos ACD e EBD são iguais pelo caso lado-ângulo-lado (que é a Proposição 4 de Euclides), o que prova, em particular, que o ângulo é igual ao ângulo EBC.  Então   > , como queríamos demonstrar. Falta provar que > . Isto se faz com o mesmo raciocínio, desta vez aplicado à igualdade dos triângulos ACD e BED (Fig. 4), consequência da construção dos pontos D (AD = DB)   e   E (CD = DE).    Proposição 17. A soma de dois ângulos de um triângulo é sempre menor que dois retos. Demonstração. Com referência à Fig. 5, como pela proposição anterior < , e como + = R (R significará sempre "dois ângulos retos" ou "um ângulo raso" ), temos que + < + = R, isto é, + < R, como queríamos demonstrar.      Proposição 27. Sejam (num mesmo plano) r e s duas retas cortadas por uma transversal t. Se os ângulos alternos internos a e (3 são iguais (Fig. 6), as retas r e s são paralelas. Demonstração. Suponhamos que r e s se encontrassem, digamos, num ponto C.  Teríamos, então, um triângulo ABC,  cujos ângulos  e  somariam menos que dois retos (pela Prop.   17), isto  é,   + < R. Mas = , donde teríamos + < R, que é absurdo. Somos assim levados a concluir que r e s não se encontram; logo, são paralelas, como queríamos demonstrar. E interessante observar que essa Prop.  27 garante que por um ponto P fora de uma reta r pode-se traçar uma paralela a reta. Com efeito, basta construir, por  P,  uma reta  t  encontrando  r  em  Q (Fig. 7) e uma reta  s fazendo com t um ângulo a tal que + = R. Como + = R, vemos que = . Então r e s não poderão se encontrar, sob pena de contradizer a Prop. 27.  Esse fato que acabamos de observar é notável. Euclides sabia que não precisava postular a possibilidade de traçar uma paralela a uma dada reta por um ponto fora dela; ele sabia que isso podia ser demonstrado, como de fato demonstrou! Euclides só foi usar o postulado das paralelas em sua Prop. 29, onde demonstra que duas paralelas cortadas por uma transversal formam ângulos alternos internos iguais. Aqui, sim, ele precisou do postulado das paralelas! A Geometria, enfim, havia atingido um alto grau de desenvolvimento e sofisticação ao tempo de Euclides. Observe, pois, o leitor que no enunciado de Playfair não se diz que "por um ponto fora de uma reta pode-se traçar...", mas sim que "por um ponto fora de uma reta não se pode traçar mais que uma...". A possibilidade de traçar uma paralela, voltamos a insistir, já está garantida pela Prop. 27.        A Equivalência de (P) e (E) Podemos agora estabelecer a equivalência de (P) e (E). Prova de que (P) (E). Estamos supondo verdadeira a Prop. (P) e queremos provar a Prop. (E). Sejam r e s duas retas cortadas pela transversal t (Fig. 8), com + < R . Queremos provar que elas se encontram num ponto P. Pelo ponto A tracemos uma reta r' tal que os ângulos alternos internos ' e sejam iguais, de sorte que, pela Prop. 27, r' e s são retas paralelas. Como ' = ,   + = R, temos que ' + = R . Daqui e de + < R concluímos que < '. Então r e r' são retas distintas pelo mesmo ponto A, e como r' é paralela a s, por (P) r não pode ser paralela a s, logo encontra s num certo ponto P, como queríamos demonstrar.   Prova de que (E) (P). Dada uma reta r e um ponto P fora dela, queremos provar que por P não existe mais que uma paralela à reta r. Já sabemos que existe por P uma reta s paralela à reta r, construída como explicamos logo após a demonstração da Prop. 27 (Fig. 9), com = , de forma que + = R . Qualquer outra reta por P, como s', resultará num ângulo < a, donde + < R. Portanto, por (E), s' deve encontrar r num ponto Q. Isso prova que por P não passa mais que uma paralela à reta r, que é o que desejávamos provar.        A "demonstração" de Legendre Vamos designar por (P3) outro enunciado do postulado das paralelas, equivalente a (P), que será utilizado na "demonstração"de Legendre. Enunciado (P3). A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre  R. É fácil verificar que (P) =» (P3).  De fato, dado um triângulo ABC qualquer, tracemos por seu vértice C a reta r paralela ao lado AB (Fig. 10). Dessa maneira formamos os ângulos ' e  ' iguais, respectivamente, aos ângulos e do triângulo   ABC.   Assim obtemos: + + = ' + ' + = R, como queríamos demonstrar. (Veja também págs. 32 e 33 do artigo do Prof. Elon Lima na RPM 19.)   A demonstração de que (P3) (P) é mais longa e não será feita aqui. (O leitor interessado poderá encontrá-la em [1], p. 103 e seguintes. Nesta referência o autor chama o postulado de Playfair de "postulado de Hilbert".) Com o próximo teorema (que enunciamos como "lema") entramos na "demonstração" de Legendre do postulado das paralelas. Lema de Legendre. Dado um triângulo qualquer, é sempre possível construir um novo triângulo cuja soma dos ângulos internos é igual à soma dos ângulos internos do triângulo dado e em que um dos ângulos é menor ou igual à metade de um dado ângulo do triângulo original. Explicação. A idéia é a seguinte: dado um triângulo ABC qualquer, desejamos provar que é possível construir um novo triângulo A1B1C1,  tal que 1 + 1 + 1 = + +      e    1   / 2 Uma vez provado isso, podemos construir um segundo triângulo A2B2C2   tal que 2 + 2 + 2 = 1 + 1 + 1     e    2   1/ 2. portanto, 2 + 2 + 2 = + +      e    2   /22. Continuando com esse procedimento de construir triângulos sucessivamente, chegamos a um triângulo  AnBnCn   tal que n+ n + n = + +      e    n   /2 n .               (1) Dessa maneira, podemos fazer o ângulo an tão pequeno quanto quisermos, tomando n bastante grande, de forma que na soma n + n + n o ângulo n conte muito pouco, a contribuição significativa desta soma estando com n + n, que já sabemos ser menor que   R   pela Prop.  17. Essa é a idéia para se chegar à prova de que a soms + + é R. Demonstração do Lema de Legendre. Dado um triângulo ABC qualquer, de ângulos , e (veja a Fig. 11, onde = 1 + '), repetimos a construção feita na Fig. 2, obtendo dois triângulos iguais, ADC e EDB.  Então ' = 1 e   = ,   de sorte que + + = (1 + ') + + = 1+ 1+ + = 1 + 1 + 1 Por outro lado, como 1 + 1 = , devemos ter 1 /2 ou 1 /2. Se ocorrer este último caso, é só mudar os símbolos 1 com 1 para terminarmos sempre com 1 /2. Isso completa a demonstração do teorema. Teorema de Legendre.  A soma, dos ângulos de qualquer triângulo não supera dois ângulos retos. Demonstração. Seja ABC um triângulo qualquer, de ângulos , e . Vamos demonstrar que + + R , provando que + + > R  nos leva a um absurdo. Supomos então que < + + > R = , onde > 0. Procedendo como na explicação acima, seguinte ao enunciado do Lema de Legendre, construímos um triângulo   AnBnCn ,   com ângulos   n , n   e   n ,   n   de tal forma  que    / 2n < . Daqui e de (1) segue-se que   n < .   Portanto,como também n + n + n = = + = R + obtemos:    n + n = R + ( n) > R.    Isso é absurdo em face da Prop.  17, o que completa a demonstração do teorema. Finalmente, estamos em condições de ver como procedeu Legendre em sua tentativa de demonstrar o postulado das paralelas. Para isso, tendo em conta o enunciado (P3), basta provar que a soma dos ângulos de um triângulo qualquer é R. É isso o que Legendre procura fazer. Raciocinando por redução a um absurdo, suponhamos que   ABC  seja um triângulo cuja soma dos ângulos internos seja menor que R, portanto igual a R , onde > 0.   Pelo vértice C tracemos CP = AB, de forma que o ângulo PCB seja igual ao ângulo ABC e o ponto V esteja do mesmo lado da reta AC que o ponto B (Fig.12). Os triângulos ABC e PCB são iguais pelo caso lado-ângulo-lado, portanto têm a mesma soma de ângulos,  S1=S2=R .  Pelo ponto P tracemos uma, reta que encontre as retas AB e AC em E e F respectivamente, formando os triângulos BEP e CPF. As somas S3 e S4 dos ângulos desses triângulos são tais que   S3 < R   e   S4 < R . Então, S1 + S2 + S3 + S4 4R 2 Observe que a soma S dos ângulos do triângulo AEF é S1 + S2 + S3 + S4 menos os ângulos com vértices em B, C e P. Ora, a soma dos ângulos em cada um desses vértices é R, de forma que devemos subtrair 3R de S1 + S2 + S3 + S4  para obtermos a referida soma  S.   Em vista de (2), concluímos que S R — 2. Isso mostra que, se existir um triângulo ABC cuja soma dos ângulos seja R , conseguimos construir um triângulo maior AEF, cuja soma dos ângulos é R 2. Prosseguindo, poderíamos construir outro triângulo maior ainda, com soma dos ângulos R 4, e assim por diante. Ora, chegaremos assim a construir um n-ésimo triângulo cuja soma dos ângulos deve ser   R n.  E claro que isso é um absurdo, pois, com n bastante grande, o número R n fica negativo. Somos assim levados a concluir que a soma dos ângulos de qualquer triângulo não pode ser menor que R . Como já provamos que também não pode ser maior que R , concluímos que é exatamente   R . Como o leitor vê, Legendre, com esse raciocínio, teria provado o postulado das paralelas na sua versão (P3). Ora, como já dissemos, é impossível provar esse postulado, como ficou esclarecido pelos descobridores das geometrias não euclidianas. Deve então haver um erro no raciocínio de Legendre que acabamos de apresentar. De fato, há, sim, um erro; e bastante sutil, por isso mesmo escapou à argúcia de Legendre. Como veremos logo a seguir, ele incorreu naquilo que os lógicos chamam de "tautologia" ou "círculo vicioso" e que consiste em acabar supondo verdadeiro aquilo mesmo que se deseja provar. E claro que isso é inadmissível!  Num certo estágio do raciocínio acima, referente à fig.  12, dissernos:  "Pelo ponto   P   tracemos urna reta que encontre   AB   e   AC nos pontos   E e   F   respectivamente".   Estamos assim admitindo a existência de tal reta   EF.   Vamos enunciar esse fato em destaque, como Enunciado (P4). Por um ponto P no interior de um ângulo qualquer BAC, é sempre possível traçar uma reta que encontre os dois Iados do ângulo em E e F respectivamente. Embora Legendre não tenha percebido, esse enunciado é equivalente, ao postulado das paralelas, como vamos provar. Ora, se é equivalente, não pode, como fez Legendre, ser usado em qualquer demonstração desse postulado. A demonstração de que (P4) (P) foi exatamente o que fizemos acima, com o raciocínio referente à Fig. 12. Para demonstrar que (P) (P4), supomos (P) verdadeiro. Seja BAC um ângulo qualquer e P   um ponto em seu interior.  Devemos provar que existe uma reta por   P   encontrando os dois lados do ângulo. Por   P   tracemos a reta   t,   paralela ao lado AC (Fig. 13). Ela deve encontrar o lado AB,senão estaríamos tendo, pelo ponto A, duas retas, AB e AC, ambas paralelas à reta t, contradizendo (P). Seja D o ponto de encontro de t com AB. Seja E um ponto do lado AB tal que D esteja entre A   e   E.    Provemos que a reta   PE  encontra o lado  AC  num ponto   F. Do contrário, teríamos, pelo ponto P, duas retas, PE e t, ambas paralelas à mesma reta AC, novamente contrariando (P). Isso completa a demonstração de que (P4) é equivalente a (P).        Uma reflexão crítica Episódios como esse que acabamos de descrever mostram que, embora a visualização geométrica seja um poderoso auxiliar no aprendizado da Geometria, ela pode, muitas vezes, nos levar a conclusões ou raciocínios falsos. Aliás, antes mesmo de Legendre, outros matemáticos cometeram equívocos semelhantes, um deles protagonizado por Girolamo Saccheri (1667-1733), também autor de um trabalho escrito com o objetivo de demonstrar o postulado das paralelas. Foi por causa de erros desse tipo que os matemáticos começaram a perceber que estavam sendo mal guiados pela maneira como os entes geométricos - principalmente a linha reta - vinham sendo visualizados ao longo dos séculos. E acabaram descobrindo que essa visualização era apenas um modo de ser desses entes. Outros modelos deveriam existir, obedecendo aos mesmos quatro primeiros postulados de Euclides, mas não ao quinto. Assim nasceram as chamadas geometrias não euclidianas. Ao leitor interessado em maiores informações sobre essas geometrias aconselhamos consultar o artigo do Prof. Waldyr Oliva na RPM 2 e o do Prof. Manfredo do Carmo em [2].   Essas experiências de Saccheri, Legendre e outros matemáticos estimularam os estudos críticos dos fundamentos, tanto na Geometria como na Análise e em outros domínios da Matemática. No campo da Geometria, esses estudos culminaram no ano de 1899, com o aparecimento do livro de Hilbert, intitulado Fundamentos da Geometria, que foi o primeiro trabalho bem-acabado sobre a organização axiomática da Geometria. Hilbert e outros matemáticos do século passado acabaram descobrindo que a obra de Euclides, não obstante sua admirável estrutura e organização, continha várias falhas: muitas das demonstrações estavam incompletas, por se apoiarem freqüentemente na visualização geométrica e não apenas nos postulados, como deveria ser. Mais ainda, constataram que os cinco postulados de Euclides eram insuficientes, e muitos outros seriam necessários para construir o edifício da Geometria. Do ponto de vista do ensino elementar, isso encerra uma lição muito importante: se matemáticos os mais eminentes levaram tanto tempo para descobrir as falhas do encadeamento lógico-dedutivo da Geometria e as armadilhas"da intuição, como então esperar que um aluno do 2.° grau tenha sensibilidade para essas sutilezas! A escola de 2.° grau não é o lugar adequado para estudos de fundamentos e axiomática, mesmo porque é impossível apreciar esses estudos e compreender a sua necessidade, sem um sólido conhecimento dos fatos geométricos e dos processos da dedução. O professor tem de se ocupar primeiro com o ensino dessas coisas, pois sem elas o aluno não poderá desenvolver seu espírito crítico e ver-se em condições de perceber as falhas e lacunas de algumas demonstrações. E mesmo essa percepção só será possível com a ajuda do professor, pois seria mesmo surpreendente que alguém com tão pouca experiência pudesse descobrir falhas de um raciocínio como o de Legendre, que expusemos acima. A axiomatização da Geometria é tarefa longa, que requer bastante tempo e não cabe no 2.° grau. Importunar o aluno com sutilezas para as quais ele ainda não está preparado é um contra-senso pedagógico. O professor do 2.° grau, sim, deve ser informado além daquilo que ensina, inclusive sobre fundamentos e axiomática, justamente para que possa ter senso crítico que o auxilie a decidir sensatamente sobre o que deve ensinar e como.   Referências Bibliográficas [l]    GREENBERG, M. J. Eudidean and non-euclidean geometries. New York, W. H. Freeman and Co., 1980. [2]   CARMO, M. P. do Geometrias não-euclidianas. Revista Matemática Universitária.  Rio de Janeiro, (6), dez.  1987. O leitor pode ler mais sobre os Elementos de Euclides no excelente livro de Asger Aaboe, Episódios da História Antiga, da Matemática, publicado pela SBM em sua coleção Fundamentos da Matemática Elementar. Para uma visão mais completa da Geometria Dedutiva, aconselhamos o livro do Prof. João Lucas Marques Barbosa, intitulado Geometria Plana. Elementar, também da coleção Fundamentos da Matemática Elementar.