Hideo Kumayama
São Bernardo do Campo, SP

Freqüentemente deparamos com anúncios semelhantes ao do quadro abaixo.

Aí surge a indagação: qual é a taxa mensal de juros cobrada no pagamento parcelado?

Para resolver esse problema, representemos por i a taxa mensal de juros cobrada pela loja e lembremos que um pagamento igual a P, hoje, equivale a um pagamento igual a P+Pi=(l+i)P daqui a um mês; equivale a um pagamento igual a (l + i)P+ i(l + i)P = (1 + i)²P daqui a dois meses, ...; equivale a um pagamento igual a (1 + i)ⁿP daqui a   n   meses.

Em suma, um pagamento igual a  P,   hoje, equivale daqui a  n meses a um pagamento igual
é obtido dividindo o valor futuro por   (l + i)ⁿ.

Ora, em uma compra a prazo, usualmente o pagamento é feito em n parcelas iguais a P. Qual é o valor desse conjunto de pagamentos mensais, um mês antes do primeiro pagamento, isto é, na época zero?

Devemos trazer o 1° pagamento para 1 mês atrás, o 2.° pagamento para  2   meses atrás, etc. Obtemos:

que é a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica cujo primeiro termo é P/(l+i) e cuja razão é (1 + i)^-1. Temos então:

A fórmula acima é o resultado básico sobre pagamento parcelado em parcelas iguais e igualmente espaçadas no tempo. P é o valor das prestações, n é o número de pagamentos, i é a taxa de juros (relativa ao período entre prestações sucessivas) e A é o valor do conjunto de pagamentos, um período antes do 1.° pagamento.

No caso do anúncio, tomando o mês da compra como o mês zero, temos as opções equivalentes de pagamento

Igualando os valores na época zero, obtemos

Um processo bastante eficiente para resolver essa equação é o método das aproximações sucessivas. Escrevemos a equação na forma

e obtemos aproximações

É claro que, se tivermos   i_k+l = i_k,   esse valor comum a   i_k   e   i_k+l é a raiz da equação.

Começando, por exemplo, com    i₀ = 0,100,  obtemos

portanto,  i 0,23 = 23%   ao mês.

E se o primeiro pagamento fosse no ato da compra? Teríamos as opções equivalentes de pagamento:

Igualando os valores na época — 1 (lembre-se que dispomos de uma fórmula que dá o valor do segundo conjunto de pagamentos, um período antes do primeiro pagamento), obtemos:

A equação acima é do 2^o grau.   Apesar disso, vamos resolvê-la por aproximações sucessivas.

Começando com   i₀ = 0,800,  obtemos:

portanto,  i 0,62 = 62%   ao mês.

Referências Bibliográficas

[l] GARCIA, J. C. A vista com desconto ou a prazo sem juros?. RPM 20, 1992.

[2]  D'AMBRÓSIO, N. & D'AMBRÓSIO, U. Matemática comercial e financeira. São Paulo, Nacional, 1971.

[3] COELHO, S. T.  Matemática, financeira e análise de investimentos.  São Paulo, Nacional, 1979.

[4]  VIEIRA SOBRINHO, J. D. Matemática financeira. São Paulo, Atlas, 1987.