O leitor Diobel Gomes Travessa, de Itu, SP, está preocupado em despertar no seu filho o gosto pela Matemática e solicita à RPM um artigo sobre o tema Como um pai pode auxiliar o filho na Matemática .... Conta que seu filho estava, um dia, desolado por não encontrar um par que satisfizesse a equação 4x 2y  = 5. E afirmava: "A tia quer inteiro". Mostrou-lhe,

Uma outra questão chamou-lhe a atenção ao ler a página de Esportes na Folha de S. Paulo:

Veja as chances de cada time: O São Paulo se classifica para a final se vencer hoje, independentemente dos outros resultados. Se perder, está eliminado e, se houver empate, o time de Telê se classifica, desde que o Flamengo não vença o Santos. O empate elimina o Vasco, que precisa vencer e torcer pelo empate entre Flamengo e Santos. Se um destes vencer, o Vasco estará eliminado mesmo se derrotar o São Paulo. O empate em seu jogo também elimina o Flamengo, que precisa vencer e torcer para que o São Paulo não vença. A vitória também é o único resultado que interessa ao Santos, que, além disso, depende da vitória do Vasco. Dá para entender?

Organizou, então, os dados acima, montando uma "árvore" com as várias possibilidades dos resultados dos dois jogos: São Paulo x Vasco e  Flamengo x Santos:

A partir deste esquema e atribuindo a cada ramo a probabilidade de 1/3, as chances finais

E finaliza sua carta dando parabéns à RPM e sugerindo um outro tema para um artigo: A Teoria da Decisão.

RPM: Agradecemos a carta tão interessante de Diobel G. Travessa. Quanto ao auxílio que se pode dar ao filho, cremos que depende demais do filho, do pai, da "tia", e este é, a nosso ver, um assunto que pode ser mais propriamente estudado numa revista de Psicopedagogia. Temos a impressão de que não há Teoria da Decisão que lhe dê uma resposta conclusiva. Já exemplos como este, do cálculo das chances de cada time, só podem enriquecer o acervo de pais e professores no seu afã de procurar ligações entre a matéria ensinada e o cotidiano dos nossos estudantes. Fica para os autores a idéia do artigo sobre a Teoria da Decisão.

- O colega André Minoru Inafuku, de Suzano, SP, recebeu de seu aluno o seguinte problema:

Calcule   r   na figura ao lado.

Tentou resolvê-lo usando o Teorema de Pitágoras, procurou triângulos semelhantes e ...nada! Foi aí que se lembrou do artigo de E. Wagner (RPM 21, p. 19) sobre áreas e encontrou uma solução.

Calculou  a área do triângulo dado (que é 54)   como soma das áreas dos três triângulos mostrados na figura ao lado. Dois desses triângulos têm altura   r   e o outro, altura  3r,   donde ele concluiu que
 

e, daí,   r = 2.

- O colega Nelson Mortean Filho, professor na EEPG Júlio Mesquita e plantonista do Anglo, em Campinas, SP, também enviou três problemas, cujas soluções por meio de áreas são elegantes e têm apelo visual. O primeiro deles caiu no ITA e trata do seguinte:

Num triângulo ABC, M é o ponto médio do lado AC e D divide o lado AB na razão de 1 para 2 (2AD = DB). Em que razão estão as áreas determinadas por MD, isto é, qual a razão entre a área do quadrilátero  BC MD  e a do  ADM ?

Seja S = S(ABC) a área do triângulo ABC. Como os triângulos BAM e BMC têm bases congruentes (AM e MC) e respectivas alturas iguais, eles terão áreas iguais e, portanto, iguais a 5/2. Por sua vez, o triângulo  BAM  fica decomposto em três triângulos de áreas iguais, donde

A 2.ª aplicação do cálculo de áreas consiste numa demonstração de que o baricentro de um triângulo (= ponto de encontro das medianas desse triângulo) divide cada mediana na razão de 1 para 2.

Ele toma, como no caso anterior, o ponto médio M do lado AC e considera os pontos D e E que dividem a mediana BM em três partes congruentes. A afirmativa estará provada se verificarmos que o prolongamento de CD corta o lado AB no seu ponto médio, isto é, se verificarmos que AF = FB ou, o que dá no mesmo, se conseguirmos provar que S(AFM)=S(FBM).

Analogamente ao caso anterior, e usando as notações sugeridas na figura, temos:

e, daí,  3x = y,  que é o mesmo que  S(AFM) = S(FBM), o que termina a prova,

Um terceiro exemplo é o seguinte: No triângulo ABC, S(ABC) = 396, 2AT = TC e 3AQ = QB. Calcular a área da parte hachurada.

A solução sai da decomposição de áreas esboçada ao lado, onde x e y são soluções de

A área procurada é   x + y = 51.

RPM: Gratos somos aos colegas por estes exemplos e ao E. Wagner pelo artigo que trouxe à baila a idéia.
 

Pedro Patrício de Freitas, de Fortaleza, CE, escreve contando que observou o seguinte: se x e y são inteiros consecutivos, vale x² + y² = 2xy + 1 e se x e y são pares ou ímpares consecutivos, vale: x² + y² = 2xy + 1⁴. Daí, fixando valores inteiros para  y, ele mostra equações do 2.° grau, cujas soluções são o antecessor e sucessor desse número ou o par ou ímpar antecessor e sucessor. Como, por exemplo, fazendo y = 4 na primeira igualdade ele obteve a equação x² 8x + 15 = 0 cujas soluções são 3 e 5.

RPM: Pedro Patrocínio não nos conta como chegou a estas igualdades, mas talvez tenha partido da identidade (x y)² = x² + y² 2xy e do fato de que nos casos que ele abordou (x y)² é (±1)² = 1 ou (±2)² = 4. O importante é não confundir destreza algébrica, que precisa ser desenvolvida para dar maior autonomia de cálculo aos nossos alunos, com problemas significativos de Matemática. O cálculo algébrico é, simplesmente, uma ferramenta da Matemática que so faz sentido quando a serviço de um problema dentro da própria Matemática ou em alguma de suas aplicações. Quais são esses problemas significativos da Matemática é um assunto muito delicado e o leitor interessado poderá encontrar algo sobre isso no Discurso do professor Manfredo Perdigão do Carmo, publicado em 1987 na RPM 10, p. 58.

Uma pergunta sobre dois triângulos (RPM 21, p. 5)

A RPM recebeu 4 respostas corretas (e distintas) à pergunta feita pelo professor Elon Lages Lima.

As respostas dos professores Sylvio Niskier (E. E. Mauá) e Lincoln César Zamboni (E. E. Mackenzie), ambos de São Paulo, foram entregues em mãos. As de Joel Faria de Abreu, de Brasília, DF, e Carlos Alberto da Silva Victor, Nilópolis, RJ, chegaram pelo correio. Cláudio Arconcher, Jundiaí, SP, analisou as soluções e sugeriu que a do professor Sylvio Niskier fosse publicada:

Na figura temos os triângulos ABC e A*B*C* nas condições da hipótese. Temos, também, as circunferências o e o' circunscritas, respectivamente, aos dois triângulos.

1. Translade   *    sobre   a pelo vetor   .     0 triângulo   A*B*C*   irá para   A'B'C, conforme a figura.

2.  Em      as cordas   AA', BB'  e  CC  são paralelas, com pontos médios   D, E  e   F,  respectivamente, colineares.

3.   Sendo:  K, ponto médio de   AA*, L   de   BB*   e   M   de  CC*,  temos:

4.   Como resultado da translação, os segmentos A'A*, B'B* e C'C* são paralelos e congruentes.  Assim   DK,  EL   e   FM   também o são.  Como   D, E   e   F  são colineares, o mesmo acontece com   K, L  e M .