Flávío Wagner Rodrigues IME-USP Soluções e Sugestões: RPM - Problemas Caixa Postal 20570 01498-970 São Paulo, SP        Problemas 98.   Seja   P(x)  um   polinômio  com  coeficientes   inteiros  tal   que P(0) = P(l) = 1.    Considere   x0   um inteiro qualquer e defina xn+1 = P(xn)   para todo   n = 0,  1, 2, . . . . Provar que para  i j,   xi  e  xj   são primos entre si. 99.   Calcular o valor da expressão  tg20° tg40° tg80°. (Enviado por Tsunediro Takahashi, Ribeirão Pires, SP.)        O cavalo do Presidente Por ser o de número 100, foi escolhido um problema especial, que tem uma história e tem aguçado a curiosidade de nossos leitores, que o mencionam em suas cartas, ora para a seção Problemas, ora para O leitor pergunta. Em 1981, o então presidente João Figueiredo recebeu no Palácio do Planalto os vencedores da Olimpíada de Matemática do Estado de São Paulo. No decorrer da recepção, revelou que, além de cavalos, também gostava de resolver problemas de Matemática e por isso iria propor um problema aos visitantes:   100. Eu tenho um pasto circular de raio r e meu cavalo está preso a um mourão da cerca por meio de uma corda de comprimento x. Qual deve ser o comprimento x, de maneira que o cavalo possa comer somente a metade do capim do pasto? (Nicolau Corção Saldanha., medalha de ouro na 22.ª Olimpíada Internacional de Matemática, que acompanhava o grupo e hoje já é doutor e professor da PUC-RJ, resolveu o problema em poucos minutos, logo após a recepção.) Um fato curioso ainda aconteceu no ano seguinte: Para divulgar a Olimpíada daquele ano, foi feito um cartaz, parcialmente reproduzido acima. Uma cópia foi mandada para o Palácio do Planalto, que agradeceu. Um órgão subordinado à Secretaria da Educação de São Paulo proibiu a afixação do cartaz, alegando que o seu cabeçalho dava margem a uma segunda interpretação (!).   101. Num triângulo ABC cada lado é dividido, por dois pontos, em 3 partes congruentes. Unindo-se tais pontos ao vértice oposto, obtém-se um hexágono, como mostra a figura. Mostre que a área do hexágono é a décima parte da área do triângulo ABC. (De urn problema enviado por António Matos dos Santos, PR)     Ver os "impasses"na seção livros      ... e probleminhas Na verdade, paradoxos não são "probleminhas" - são "problemões", mas, muitas vezes, eles vêm com enunciados atraentes e com ar de probleminhas. Apresentaremos abaixo alguns paradoxos clássicos (e terríveis), em versão popular: 1. Suponhamos que, no Brasil, quem mente uma vez. minta sempre e quem  fala a verdade uma voz, fale a verdade sempre.    Um político brasileiro disse "somos todos mentirosos".   Ele falou a verdade?   2.  "Aqui estão 3 afirmações falsas. Quais? (a)        2 + 2 = 4;         (c)  3 x 6 = 17; (b)        8 / 4 = 2;                (d)   136 = 5." Resp. Somente (c) e (d) são falsas. Portanto a afirmação "Aqui estão 3 afirmações falsas" é falsa e portanto esta é a terceira afirmação falsa. Ou não é? (Tirado de aha! Gotcha de Martin Gardner). 3.         Diz um barbeiro:  "Eu barbeio todos os homens daqui que não barbeiam a si mesmos e somente estes".   0 barbeiro está sem barba. Quem barbeou o barbeiro? 4.         A   é o conjunto de todos os números naturais que podem ser descritos por, no máximo, 30 palavras ou letras constantes num dicionário da língua portuguesa.   (Sinais de pontuação podem ser usados, mas não contam.)   Por exemplo,   372 A   porque 372 é "três centenas, mais sete dezenas mais duas unidades". E claro que o conjunto   A   é finito e, portanto, tem um máximo. O número "um mais o máximo do conjunto de todos os números naturais que podem ser descritos por, no máximo, 30 palavras ou letras constantes num dicionário da língua portuguesa" está descrito com 28 palavras. Ele pertence a  A? Ou não pertence? (Ver os "impasses" na seção "Livros")        Soluções dos problemas propostos na RPM 20, 1.° quadrimestre, 1092 90.   Mostre que o número N=444. . . 4888. . . 89, constituído por n algarismos 4,  n 1  algarismos  8 e um algarismo  9,  é um quadrado perfeito e determine a sua raiz quadrada. (Enviado, também, por Tsunediro Takahashi, Ribeirão Pires, SP.) Solução: Temos:    44 . . . 488 . . . 89 = = 4 . 102n - 1 + 4 . 102n - 2 + . . . + 4 . 10n + 8 . 10n -1 + . . . + 8 . 10 + 9 = = 4 . 10n (4 . 10n-1 + 4 . 10n-2 + . . . +10 +1) +8 . 10 (4 . 10n-2 + 4 . 10n-3 + . . .+ 10 +1) + 9 (Resumo de soluções enviadas pelos leitores.)   91. Seja ABCD um quadrado de lado . Calcule a área da figura hachurada, sabendo-se que M e N são os pontos médios de AB e AD, respectivamente. (Também enviado por José Airton Carneiro, PA.) Solução: A área da figura é  x . y. Procuremos, então,   x   e   y. Temos:   (Solução enviada por Paulo Roberto Mendonça, de Pontal, SP.)   92. Dado um triângulo ABC qualquer, considere M, N, P os pontos médios de AB, BC e AC, respectivamente. Mostre que os triângulos AMP, BMN e CNP são congruentes entre si. Mostre que eles são congruentes ao triângulo determinado pelos seus ortocentros, bem como aos triângulos determinados pelos seus baricentros, incentros e circuncentros. Generalize. Solução: Logo,   MNP    NPC. Todos os outros triângulos do problema são transladados do NPC, logo congruentes entre si .   93. Uma urna contém 5 bolas numeradas de 1 até 5. O jogador A retira sucessivamente (com reposição) duas bolas dessa urna. Em seguida, o jogador B retira da urna uma única bola. A ganha o jogo se pelo menos uma das bolas por ele retiradas tiver um número maior do que o número da bola retirada por B. Caso contrário, a vitória é de B. Supondo que todas as retiradas são equiprováveis, determine as probabilidades de vitória dos dois jogadores. Solução: B  ganhará nas seguintes situações: B retira:    com       e A tira 2 n.os com B ganha   probabil.: do conjunto: probabil.: probabil.: 1 1/5 {1} 1/25 1/125 2 1/5 {1,2} 4/25 4/125 3 1/5 {1,2,3} 9/25 9/125 4 1/5 {1,2,3,4} 16/25 16/125 5 1/5 {1,2,3,4,5} 25/25 25/125         55/125 A probabilidade de   B   ganhar é   55/125; a de   A  é   70/125

Relação dos leitores que enviaram soluções dos problemas 90 a 93 da RPM 20 Paulo Sérgio A. Moraes (PA) - 90 Roberto F. Silvestre (MG) - 90-91-93 Edson Roberto Abe (SP) - 90-91-93 Antonio Ferreira Sobrinho (SP) - 91 Tsunediro Takahashi (SP) - 90-91 Edmilson G. Aleixo Jr. (RJ) - 91 Alceu de Amorim Ramos (SP) - 90 Antonio Roberto da Silva (RN) - 90-91 Ricardo Klein Hoffmann (RS) - 91 Arnaldo Strulberg (RJ) - 90-91 Edmundo Reis Bessa (CE) - 90-91 Geraldo Perlino Jr. (SP) - 90-91-92-93 Benedito Tadeu V. Freire (RN) - 90-91 Carlos A. C. Godoy (SP) - 90-92-93 Marcelo C. Guimarães (RJ) - 90-91 Miguel K. Hirata (SP) - 90-91-93 Levi Brasilino da Silva (PE) - 90-91 Pierre Bedouch (MG) - 93 Sun Hsien Ming (SP) - 90-91 Antonio José S. Cavalcante (CE) - 90 Doralício F. de Farias Jr. (DF) - 90-91 José Renato C. e Carneiro (SP) - 90-91 Émirson Marino (PR) - 91 Miguel de C. Neves (RJ) - 90-91 Carlos H. R. R. Quadros (SP) - 91 F. W. Leão (RJ) - 90-91-92 Amadeus C. de Almeida (RJ) - 90-91 Evandro de Freitas (RJ) - 90-91 Geraldo Botelho Lins (RJ)  - 90-91 João F. Barros (SP) - 91 Maurílio Maohi (SP) - 90-91 Antonio M. dos Santos (PR) - 90-91-93 Gilson Braviano (SC)    91-93 Francisco C. Simão (MG) - 90-91 Gilvan Lima de Oliveira (PI) - 90-91 Nelson Tunala (RJ) - 90-91-92-93 Manoel E. R. de Azevedo (RN) - 90-91 João Gomes Pereira (SP) - 90 Zenóbio Brandão de Macedo (RN) - 91 Régis Sant'Ana (PR) - 90-91-92-93 Vander Lage Martins (RJ) - 91 Dilermano H. de Arruda (DF) - 91 Chang Yeh Chien (SP) - 91 Antonio C. Pinheiro (CE) - 90-91-93 Nerli Gomes Santana (RJ) - 91 Roberto dos Reis Perez (RJ) - 91 João de Deus Lima (RN) - 90-91-93 Paulo Roberto Mendonça (SP) - 91 Roberto João Eissler (SC) - 91 Laercio Francisco Freitas (PE) - 90 João Dionísio Filgueira Sob.° (PE) - 91