Geraldo Garcia Duarte Júnior
UNESP, Rio Claro, SP

Tome uma corda esticada, unindo um ponto A de São Paulo a m ponto B do Rio de Janeiro. Suponha que a distância entre estes pontos A e B seja exatamente 400 km. Tome outra corda com m metro a mais que a anterior, ou seja, com 400.001 metros, e fixe também suas extremidades nos pontos A e B. Ela ficará bamba. Levante esta corda pelo seu ponto médio formando um triângulo, conforme a Fig. 1

Pergunta-se:

(i) A altura   h   deste triângulo formado será maior ou menor que um metro?

ii) O que ocorreria com a altura se o triângulo formado fosse como o da Fig. 2?

Por mais absurdo que possa parecer, caberia dentro do triângulo, no caso (i), um prédio de forma retangular com 126 andares de altura e 50 quarteirões de comprimento!

Ao fazermos as contas, vemos que a altura h será aproximadamente 447 metros no caso (i) e 0,99999 metros no caso (ii), que são valores bem diferentes do imaginado.

Vejamos as soluções:

(i) Pelo teorema de Pitágoras temos:


 

(ii) Neste caso temos as relações


De (1) temos     c = a b + 1      que, aplicado com (2), dá

b2 + a2 = b2 + a2 + 1 + 2a - 2ab 2b,

Fazendo os gráficos de  h  e  b  como funções de  a,  temos


 

Para nossa surpresa,

h      quando     a ,      
b 1      quando     a .

Perplexos com a solução, ficamos a imaginar por que falha a nossa intuição?

 

Geraldo Garcia Duarte Júnior foi professor da Faculdade de Filosofia, Ciências e letras de Ribeirão Preto de 1976 a 1992. É professor do Instituto de Geociências e Ciências Exatas da UNESP - Rio Claro desde junho de 1992.