Como Encontrar Quadras de números Inteiros para a
Fórmula da Diagonal do Paralelepípedo?

A diagonal de um paralelepípedo reto retângulo de arestas a, b, c  é dada por  d² = a² + b² + c².

É possível escolher a, b, c inteiros de modo que d também seja um inteiro?

A resposta é sim e a idéia é "emendar" dois ternos pitagóricos.

Por exemplo, os ternos (3,4,5) e (5,12,13) fornecem (3,4,12,13), onde  3² + 4² + 12² = 13².

Outro exemplo: (5,12,13) e (13,84,85) fornecem  (5,12,84,85).
(Veja na RPM 7, p. 49, como construir ternos pitagóricos.)

Lembrando dois resultados podemos construir novas quadras:

1.  se  (a,b,c)  for pitagórico,  (ka,kb,kc)  também o será;

2.  a ordem dos catetos no terno pitagórico é irrelevante.

Assim, (3,4,5) nos fornece (9,12,15) e (8,15,17) pode ser escrito como (15,8,17).   Daí vem a quadra  (9,12,8,17).

Novas quadras podem ser obtidas se observarmos que o número que faz a "emenda" desaparece e, portanto, não precisa ser inteiro.

Assim, um terno poderia ser (a,a,a) e o outro (a,b,c). A condição 2a² + b² = c² equivale a 2a² = (c + b)(c b). Encontraremos quadras nas condições desejadas se 2a² for o produto de dois inteiros pares distintos.

Por exemplo, se   a = 4,   2a² = 32 = 8 x 4,   donde   c + d = 8   e    c d = 4,  isto é,   c = 6  e  d = 2.   A quadra será  (4,4,2,6),

Analogamente, para a = 6,  2a² = 72 = 36 x 2 = 18 x 4 = 12 x 6 e teremos, respectivamente, as quadras (6,6,17,19), (6,6,7,11) e (6,6,3,9).

Enviado por Ruy Madsen Barbosa,
UNESP.