Nelson Tunala.
Rio de Janeiro, RJ
 

A despeito da existência de muitos métodos pará se determinar a raiz quadrada de um número positivo, acreditamos ser o método das aproximações sucessivas o mais atraente, principalmente pela sua natureza iterativa, o que permite uma implementação computacional bastante simples.

Atribui-se ao matemático inglês Isaac Newton (1642-1727) a concepção deste método.

Seja o número positivo cuja raiz quadrada se deseja determinar.

Partimos de > 0 e sejam  a e b  positivos tais que   = ab.  É imediato que se a tem-se que b e vice-versa, de modo que  pertence sempre ao intervalo de extremidades a e b.

Figura 1

Com a fixo (e portanto ), se a cresce tem-se que b deverá decrescer, ou vice-versa, de modo a manter o produto constante.

Figura 2

Da análise das figuras 1 e 2, seguem-se as seguintes conclusões:

     Cada intervalo [i, j]  da semi-reta real positiva, com  i ^. j = > 0,   contém   .

     Dados dois destes intervalos [i, j] e [k, ], com i ^. j = k ^. = , se  i [k,]  ou  j [k,],  então  [i,j] [k,].   Assim, cada intervalo contendo um extremo de um segundo intervalo contém integralmente este segundo intervalo.

A veracidade da primeira conclusão pode ser visualizada geometricamente representando-se o lugar geométrico dos pontos (x,y) com x > 0, y > 0,  e  xy =   (figura 3).

O método de Newton consiste em determinar uma sucessão de intervalos cada vez menores, todos contendo , de modo que as amplitudes dos intervalos tendam a zero.                                 

As extremidades à esquerda desses intervalos são aproximações por falta de com erros cada vez menores e as extremidades à direita são aproximações por excesso. O fato de as amplitudes tenderem a zero significa que é possível encontrar aí aproximações dentro de qualquer margem de erro, por menor que ela seja.

E relativamente fácil encontrar algumas sucessões de tais intervalos, todavia deve-se ter cuidado com esta escolha, de modo a assegurar que suas amplitudes tendam a zero.

Iniciando-se por uma estimativa real positiva qualquer g (g² < ), tem-se necessariamente

Neste caso, devido à desigualdade entre as médias aritmética e geométrica ([1], [2]), tem-se:

da amplitude do primeiro. Continuando este processo, o terceiro intervalo terá menos de 1/4 da amplitude do primeiro, e o quarto, uma amplitude inferior a 1/8 da amplitude do primeiro, de modo que a sucessão de amplitudes dos intervalos contendo   tenderá realmente a zero.

A tabela 1, apresentada a seguir, ilustra a aplicação do método para  = 2.

Tabela 1
 

Empregando uma análise idêntica à desenvolvida para a raiz quadrada, é possível mostrar que

Para a raiz n-ésima, a fórmula de iteração pode ser generalizada para

Referências Bibliográficas

[1] Lima, E. L., Curso de Análise, vol. 1. Rio de Janeiro, IMPA, 1976.

[2] Lima, E. L., Meu professor de Matemática e outras histórias. Rio de Janeiro, SBM, 1987.

[3]  Morgado, A. C. et alii, Álgebra I. Rio de Janeiro, Livraria Francisco Alves, 1974.

[4] Forsythe, A. I. et alii, Computer Science: A first course. New York, Wiley, 1969.