(transcrição adaptada da Nota da Redação publicada na RPM 2, p. 27)
 

Há, em geral, duas preocupações em relação ao algoritmo para o cálculo de raízes quadradas: 1.°) o aluno aprende os passos sem entendê-los, 2.°)  o aluno facilmente se esquece desses passos.

Com efeito, embora o cálculo da raiz quadrada ocorra com bastante freqüência em problemas de Geometria, de Mecânica, etc, a maioria das pessoas (mesmo matemáticos profissionais), tendo aprendido tal algoritmo na escola, esquece-o pouco depois.

Ora, mais importante do que isto é a questão de saber se se deve ensinar a extração de raízes quadradas usando o algoritmo tradicional.


Há vários outros meios de extrair a raiz quadrada que dificilmente podem ser esquecidos, pois exigem bem menos da nossa memória.

Citamos os seguintes:

1.  O MÉTODO DAS TENTATIVAS. É o mais rudimentar, que funciona bem para números com poucos algarismos decimais.  Para números mais longos, deve ser complementado por uma calculadora (no que é superado pelo método 4). Ele opera assim: suponhamos que se quer calcular  . É claro que  32 < 10 < 42, logo  = 3, .... Além disso,  (3,1)2 < 10 < (3,2)2,  logo   = 3,1.... Por tentativas, verificamos também que   (3,16)2 < 10 < (3,17)2,   logo = 3,16....E assim por diante.

2.  O MÉTODO DAS APROXIMAÇÕES SUCESSIVAS (v. p. 13 nesta RPM e, também, RPM 9, pp.   65 e 66; Análise Real, vol.   1, p.  30, publicação da SBM). Para obter   , começamos com uma primeira aproximação  a1,  escolhida experimentalmente.. A menos que   n  seja um quadrado perfeito (o que não é comum) tem-se, em geral,  a1 . Então um dos dois números  a1, n/a1   é menor do que     e o outro é maior.   Se a escolha inicial   a1   for maior do que      ou se não for demasiadamente menor do que   ,   então a média

3.  TABELAS. Se temos uma tabela de raízes quadradas, basta olhar. Caso contrário, podemos lançar mão de uma tábua de logaritmos, que é bem mais fácil de encontrar. A

4.  CALCULADORA. Quase todas as calculadoras têm uma tecla sobre a qual está escrito  . Basta registrar o número n e apertar essa tecla para obter a raiz quadrada de n.

Cada um dos métodos acima, bem como o método tradicional, tem seus prós p seus contras. Por exemplo, o método 4 é sem dúvida o mais eficiente, mas tem a desvantagem de exigir uma maquininha com as pilhas carregadas. (Seus defensores podem contra-argumentar: "Mas isso todo mundo tem. Quem haveria de querer calcular numa ilha deserta?".) O método 3 também não funciona numa ilha deserta: ele depende de termos um certo livro disponível. Em compensação, usando logaritmos podemos calcular, com a mesma facilidade, não somente raízes quadradas como raízes cúbicas, quartas, etc. Para tais raízes de índice maior do que 2 já seria necessária uma maquininha mais cara. Os métodos 1 e 2 independem de tabelas ou máquinas, mas são mais trabalhosos do que o método tradicional, principalmente para números com muitos algarismos. Finalmente observamos que, do ponto de vista conceituai, o método 2 (das aproximações sucessivais) é o mais simples e elegante de todos. Além disso, ele se estende facilmente para raízes n-ésimas e mesmo para raízes de uma equação algébrica, sob a forma conhecida como método de Newton (v. RPM 4, p. 25; Análise Real, vol. 1, pp. 112 a 116). O método de Newton, do qual o método 2, acima, é um caso particular, apresenta a enorme vantagem de ter "convergência quadrática". No nosso caso, isto significa que o erro cometido em cada etapa é aproximadamente o quadrado do erro da etapa anterior.