F.T.D.
Livraria Francisco Alves

Extrairá raiz quadrada de um número, com aproximação de uma unidade, é extrair a raiz quadrada do maior número inteiro quadrado perfeito contido neste número.

Podem-se considerar três casos na extração da raiz quadrada dos números inteiros.

Primeiro caso: O número dado é menor que  100.

Para se extrair a raiz quadrada, com aproximação de uma unidade, de um número menor que 100, basta saber o quadrado dos nove primeiros números e procurar a raiz do maior quadrado contido no número dado.

Assim, vê-se que a raiz quadrada de  27  é  5;  a de  68,  8,  etc.

Segundo caso: O número dado está compreendido entre  100 e 10.000.

Seja, por exemplo, o número  4.489.

Sendo maior que 100, 4.489 tem como raiz um número maior que 10, o qual, por conseqüência, contém dezenas e unidades. O número dado compõe-se, pois, de quatro parcelas:

1.ª o quadrado das dezenas da raiz;

2.ª o duplo produto das dezenas pelas unidades;

3.ª o quadrado das unidades;

4.ª o resto, se houver.

Ora, o quadrado das dezenas da raiz dá um número exato de centenas, que não pode existir senão nas  44  centenas de  4.489.

Extraindo-se, com aproximação de uma unidade, a raiz quadrada de 44, vêm as dezenas da raiz, conquanto as 44 centenas de 4.489 possam conter, além das centenas provenientes do quadrado das dezenas da raiz, centenas provenientes da soma das três outras parcelas.

Com efeito, sendo 6 a raiz quadrada do maior quadrado contido em   44,   pode-se escrever

62 44 < 7² ,

ou, multiplicando todos os termos por   100:

6² x 10² 4.400 < 7² x 10² .

Como as quantidades 44 e 7² diferiam ao menos de uma unidade, as quantidades 4.400 e 7^2.10² devem diferir ao menos de 100 unidades. Por conseqüência pode-se juntar 89 ao número 4.400  sem igualar a  7^{2 .} 10²  e escrever:

6² x 10² < 4.489 < 7² x 10² ,

ou, extraindo a raiz quadrada:

Portanto, a raiz quadrada de 4.489 fica entre 60 e 70 e, por conseqüência, o algarismo das dezenas é  6.

Se de 4.489 se subtrai 3.600, quadrado das dezenas, obtém-se 889,  que ainda contém:

1° o duplo produto das dezenas da raiz pelas unidades;

2°  o quadrado das unidades;

3° o resto, se houver.

Ora, o duplo produto das dezenas da raiz pelas unidades dá um número exato de dezenas, que não pode existir senão nas 88 dezenas de 889. Dividindo 88 por 12, duplo das dezenas, devemos encontrar o algarismo das unidades ou um algarismo mais elevado, pois o número 88 pode conter dezenas provenientes da soma das outras duas parcelas. O quociente de 88 por 12 é 7; logo a raiz procurada é   67.

Para verificar se 7 é de fato o algarismo das unidades, pode-se formar o quadrado de 67 e ver se este quadrado cabe em 4.489; de ordinário, porém, emprega-se um processo mais simples. Escreve-se em seguida ao dobro das dezenas, 12, o algarismo das unidades, 7, e multiplica-se o número assim formado, 127, pelo algarismo das unidades 7; se o produto não for maior que 889, o algarismo das unidades ensaiado é a raiz. Com efeito, multiplicando 127, ou 120 + 7, por 7, obtém-se a soma de todas as partes que 889 contém, menos o resto, e esta soma deve caber neste número.

Dispõem-se as operações pela seguinte forma:

Na segunda operação não se escreveram os produtos 36 e 889, mas fez-se a subtração ao mesmo tempo que a multiplicação.

Terceiro caso:  O número proposto é maior do que   10.000.

Seja, por exemplo, o número   136.879.

Por ser 136.879 maior que 100, a sua raiz quadrada é maior que 10 e contém, pois, dezenas e unidades. O número dado compõe-se, pois, das 4 parcelas indicadas no segundo caso.

Ora, o quadrado das dezenas da raiz dá um número que não pode existir senão nas 1.368 centenas do número proposto. Como no caso precedente, demonstrar-se-ia que, extraindo com aproximação de uma unidade a raiz quadrada de 1.369, obtêm-se as dezenas da raiz.

A extração da raiz quadrada de 1.368 é do segundo caso; seguindo a marcha indicada, encontra-se a raiz 36. A raiz quadrada do número 136.879 contém 36 dezenas. Se do número 136.879 se subtrai o número 129.600, quadrado das 36 dezenas, obtém-se 7.279,  que ainda contém

1° o duplo produto das dezenas da raiz pelas unidades;

2° o quadrado das unidades;

3° o resto, se houver.

Ora, o duplo produto das dezenas da raiz pelas unidades dá um número exato de dezenas, que não pode existir senão nas 727 dezenas de 7.279. Dividindo 727 por 72, o dobro das dezenas, deve-se encontrar o algarismo das unidades ou um algarismo mais elevado. O quociente de 727 por 72 é 9, e a raiz procurada é 369. Verifica-se o algarismo das unidades como no segundo caso.

Podem-se dispor as operações pela seguinte forma:

Do que precede, pode-se tirar a seguinte regra.

Regra. - Para se extrair a raiz quadrada de um número inteiro, é preciso:

1.°  Dividir o número em classes de dois algarismos, a começar pela direita; a última classe à esquerda pode ter um só algarismo;

2.°   Procurar a raiz do maior quadrado contido na última classe à esquerda, escrever esta raiz à direita do número proposto, depois subtrair o seu quadrado da classe em que se opera e, ao lado do resto, abaixar a classe seguinte;

3.°  Separar por um ponto o primeiro algarismo à direita do número assim formado, e dividir a parte que resta à esquerda pelo dobro da raiz encontrada; escrever o quociente ao lado do dobro da raiz; multiplicar o número assim obtido por este mesmo quociente e subtrair o produto do número em que se opera. Se a subtração for possível, o quociente é o segundo algarismo da raiz; escreve-se a direita do precedente; no caso contrário, o quociente deve ser diminuído de uma ou várias unidades;

4.°  Abaixar a classe seguinte ao lado do resto da última subtração, e operar sobre o número resultante como sobre o precedente;

5.°   Continuar assim até se esgotarem as classes a abaixar.

Nota I. - Depois de abaixar uma classe e separar um algarismo à direita, pode acontecer que o número restante à esquerda seja inferior ao dobro da raiz obtida; neste caso, é preciso escrever um zero na raiz, abaixar a classe seguinte e continuar a operação.

Nota II. - O número de algarismos da raiz é evidentemente igual ao das classes do número proposto.